Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54001 / 15976
↖ ↑ ↗
← N 79.379856°
W 31.681824°		 ← 56.29 m → N 79.379856°
W 31.679077°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.379350°
W 31.681824°		 ← 56.29 m →
3 170 m²		 N 79.379350°
W 31.679077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411998748779297 y=0.121891021728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411998748779297 × 217)
    floor (0.411998748779297 × 131072)
    floor (54001.5)     		tx = 54001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121891021728516 × 217)
    floor (0.121891021728516 × 131072)
    floor (15976.5)     		ty = 15976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54001 / 15976 ti = "17/54001/15976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54001/15976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54001 ÷ 217
    54001 ÷ 131072     		x = 0.411994934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15976 ÷ 217
    15976 ÷ 131072     		y = 0.12188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411994934082031 × 2 - 1) × π
    -0.176010131835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55295214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12188720703125 × 2 - 1) × π
    0.7562255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37575274516998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55295214} λ = -0.55295214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37575274516998))-π/2
    2×atan(10.759109005987)-π/2
    2×1.47811808798025-π/2
    2.95623617596051-1.57079632675     		φ = 1.38543985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55295214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.681824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38543985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.379856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54001 KachelY 15976 -0.55295214 1.38543985 -31.681824 79.379856
    Oben rechts KachelX + 1 54002 KachelY 15976 -0.55290420 1.38543985 -31.679077 79.379856
    Unten links KachelX 54001 KachelY + 1 15977 -0.55295214 1.38543101 -31.681824 79.379350
    Unten rechts KachelX + 1 54002 KachelY + 1 15977 -0.55290420 1.38543101 -31.679077 79.379350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38543985-1.38543101) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38543985-1.38543101) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55295214--0.55290420) × cos(1.38543985) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184296915797265 × 6371000     		do = 56.2890218871907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55295214--0.55290420) × cos(1.38543101) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184305604366305 × 6371000     		du = 56.2916755998193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38543985)-sin(1.38543101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184296915797265-0.184305604366305)×R²
    abs(-0.55290420--0.55295214)×8.68856903998849e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.68856903998849e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.68856903998849e-06×40589641000000     		ar = 3170.25217681338m²