Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54001 / 13228
↖ ↑ ↗
← N 80.684455°
W 31.681824°		 ← 49.44 m → N 80.684455°
W 31.679077°		 →
↑
49.44 m
↓
↑
49.44 m
↓
N 80.684010°
W 31.681824°		 ← 49.44 m →
2 444 m²		 N 80.684010°
W 31.679077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411998748779297 y=0.100925445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411998748779297 × 217)
    floor (0.411998748779297 × 131072)
    floor (54001.5)     		tx = 54001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100925445556641 × 217)
    floor (0.100925445556641 × 131072)
    floor (13228.5)     		ty = 13228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54001 / 13228 ti = "17/54001/13228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54001/13228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54001 ÷ 217
    54001 ÷ 131072     		x = 0.411994934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13228 ÷ 217
    13228 ÷ 131072     		y = 0.100921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411994934082031 × 2 - 1) × π
    -0.176010131835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55295214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100921630859375 × 2 - 1) × π
    0.79815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5074833453259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55295214} λ = -0.55295214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5074833453259))-π/2
    2×atan(12.2740017350404)-π/2
    2×1.48950285996319-π/2
    2.97900571992639-1.57079632675     		φ = 1.40820939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55295214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.681824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40820939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.684455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54001 KachelY 13228 -0.55295214 1.40820939 -31.681824 80.684455
    Oben rechts KachelX + 1 54002 KachelY 13228 -0.55290420 1.40820939 -31.679077 80.684455
    Unten links KachelX 54001 KachelY + 1 13229 -0.55295214 1.40820163 -31.681824 80.684010
    Unten rechts KachelX + 1 54002 KachelY + 1 13229 -0.55290420 1.40820163 -31.679077 80.684010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40820939-1.40820163) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dl = 49.4389599994411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40820939-1.40820163) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dr = 49.4389599994411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55295214--0.55290420) × cos(1.40820939) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.161871565252292 × 6371000     		do = 49.4397426022218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55295214--0.55290420) × cos(1.40820163) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.161879222907253 × 6371000     		du = 49.4420814471548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40820939)-sin(1.40820163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161871565252292-0.161879222907253)×R²
    abs(-0.55290420--0.55295214)×7.65765496044124e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.65765496044124e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.65765496044124e-06×40589641000000     		ar = 2444.30727186784m²