Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54000 / 14884
↖ ↑ ↗
← N 79.918625°
W 31.684570°		 ← 53.45 m → N 79.918625°
W 31.681824°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.918144°
W 31.684570°		 ← 53.46 m →
2 857 m²		 N 79.918144°
W 31.681824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411991119384766 y=0.113559722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411991119384766 × 217)
    floor (0.411991119384766 × 131072)
    floor (54000.5)     		tx = 54000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113559722900391 × 217)
    floor (0.113559722900391 × 131072)
    floor (14884.5)     		ty = 14884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54000 / 14884 ti = "17/54000/14884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54000/14884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54000 ÷ 217
    54000 ÷ 131072     		x = 0.4119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14884 ÷ 217
    14884 ÷ 131072     		y = 0.113555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55300007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113555908203125 × 2 - 1) × π
    0.77288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42809983955508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55300007} λ = -0.55300007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42809983955508))-π/2
    2×atan(11.3373188748374)-π/2
    2×1.48281973211792-π/2
    2.96563946423585-1.57079632675     		φ = 1.39484314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55300007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.684570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39484314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.918625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54000 KachelY 14884 -0.55300007 1.39484314 -31.684570 79.918625
    Oben rechts KachelX + 1 54001 KachelY 14884 -0.55295214 1.39484314 -31.681824 79.918625
    Unten links KachelX 54000 KachelY + 1 14885 -0.55300007 1.39483475 -31.684570 79.918144
    Unten rechts KachelX + 1 54001 KachelY + 1 14885 -0.55295214 1.39483475 -31.681824 79.918144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39484314-1.39483475) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dl = 53.4526900005115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39484314-1.39483475) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dr = 53.4526900005115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55300007--0.55295214) × cos(1.39484314) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.17504668669065 × 6371000     		do = 53.4526115925399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55300007--0.55295214) × cos(1.39483475) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.175054947144014 × 6371000     		du = 53.4551340213476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39484314)-sin(1.39483475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17504668669065-0.175054947144014)×R²
    abs(-0.55295214--0.55300007)×8.26045336335679e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.26045336335679e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.26045336335679e-06×40589641000000     		ar = 2857.25329252852m²