Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54000 / 11826
↖ ↑ ↗
← N 81.287543°
W 31.684570°		 ← 46.25 m → N 81.287543°
W 31.681824°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
N 81.287127°
W 31.684570°		 ← 46.26 m →
2 140 m²		 N 81.287127°
W 31.681824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411991119384766 y=0.0902290344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411991119384766 × 217)
    floor (0.411991119384766 × 131072)
    floor (54000.5)     		tx = 54000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0902290344238281 × 217)
    floor (0.0902290344238281 × 131072)
    floor (11826.5)     		ty = 11826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54000 / 11826 ti = "17/54000/11826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54000/11826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54000 ÷ 217
    54000 ÷ 131072     		x = 0.4119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11826 ÷ 217
    11826 ÷ 131072     		y = 0.0902252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55300007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0902252197265625 × 2 - 1) × π
    0.819549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57469087859322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55300007} λ = -0.55300007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57469087859322))-π/2
    2×atan(13.1272586145808)-π/2
    2×1.49476580084663-π/2
    2.98953160169327-1.57079632675     		φ = 1.41873527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55300007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.684570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41873527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.287543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54000 KachelY 11826 -0.55300007 1.41873527 -31.684570 81.287543
    Oben rechts KachelX + 1 54001 KachelY 11826 -0.55295214 1.41873527 -31.681824 81.287543
    Unten links KachelX 54000 KachelY + 1 11827 -0.55300007 1.41872801 -31.684570 81.287127
    Unten rechts KachelX + 1 54001 KachelY + 1 11827 -0.55295214 1.41872801 -31.681824 81.287127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41873527-1.41872801) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41873527-1.41872801) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55300007--0.55295214) × cos(1.41873527) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.151475726976422 × 6371000     		do = 46.2549354851673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55300007--0.55295214) × cos(1.41872801) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.151482903199127 × 6371000     		du = 46.2571268311002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41873527)-sin(1.41872801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151475726976422-0.151482903199127)×R²
    abs(-0.55295214--0.55300007)×7.17622270504648e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.17622270504648e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.17622270504648e-06×40589641000000     		ar = 2139.50148714695m²