Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5400 / 11704
↖ ↑ ↗
← S 60.844910°
W 61.347656°		 ← 1 190.30 m → S 60.844910°
W 61.325683°		 →
↑
1 190.10 m
↓
↑
1 190.10 m
↓
S 60.855613°
W 61.347656°		 ← 1 189.91 m →
1 416 348 m²		 S 60.855613°
W 61.325683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.329620361328125 y=0.714385986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.329620361328125 × 214)
    floor (0.329620361328125 × 16384)
    floor (5400.5)     		tx = 5400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714385986328125 × 214)
    floor (0.714385986328125 × 16384)
    floor (11704.5)     		ty = 11704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5400 / 11704 ti = "14/5400/11704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5400/11704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5400 ÷ 214
    5400 ÷ 16384     		x = 0.32958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11704 ÷ 214
    11704 ÷ 16384     		y = 0.71435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32958984375 × 2 - 1) × π
    -0.3408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.07071859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71435546875 × 2 - 1) × π
    -0.4287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3468351317251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.07071859} λ = -1.07071859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3468351317251))-π/2
    2×atan(0.260062021619081)-π/2
    2×0.254426152110981-π/2
    0.508852304221961-1.57079632675     		φ = -1.06194402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.07071859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.347656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06194402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.844910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5400 KachelY 11704 -1.07071859 -1.06194402 -61.347656 -60.844910
    Oben rechts KachelX + 1 5401 KachelY 11704 -1.07033509 -1.06194402 -61.325683 -60.844910
    Unten links KachelX 5400 KachelY + 1 11705 -1.07071859 -1.06213082 -61.347656 -60.855613
    Unten rechts KachelX + 1 5401 KachelY + 1 11705 -1.07033509 -1.06213082 -61.325683 -60.855613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06194402--1.06213082) × R
    0.00018679999999982 × 6371000     		dl = 1190.10279999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06194402--1.06213082) × R
    0.00018679999999982 × 6371000     		dr = 1190.10279999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.07071859--1.07033509) × cos(-1.06194402) × R
    0.000383500000000092 × 0.48717528264816 × 6371000     		do = 1190.30489382596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.07071859--1.07033509) × cos(-1.06213082) × R
    0.000383500000000092 × 0.487012140922793 × 6371000     		du = 1189.90629315592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06194402)-sin(-1.06213082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48717528264816-0.487012140922793)×R²
    abs(-1.07033509--1.07071859)×0.000163141725367355×R²
    0.000383500000000092×0.000163141725367355×6371000²
    0.000383500000000092×0.000163141725367355×40589641000000     		ar = 1416348.00322768m²