Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 54 / 142
↖ ↑ ↗
← N 62.267923°
W142.031250°		 ← 36.382 km → N 62.267923°
W141.328125°		 →
↑
36.580 km
↓
↑
36.580 km
↓
N 61.938950°
W142.031250°		 ← 36.779 km →
1 338.11 km²		 N 61.938950°
W141.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1064453125 y=0.2783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1064453125 × 29)
    floor (0.1064453125 × 512)
    floor (54.5)     		tx = 54
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2783203125 × 29)
    floor (0.2783203125 × 512)
    floor (142.5)     		ty = 142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 54 / 142 ti = "9/54/142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/54/142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54 ÷ 29
    54 ÷ 512     		x = 0.10546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 142 ÷ 29
    142 ÷ 512     		y = 0.27734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10546875 × 2 - 1) × π
    -0.7890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.47891295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27734375 × 2 - 1) × π
    0.4453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39899047851172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47891295} λ = -2.47891295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39899047851172))-π/2
    2×atan(4.05110822103903)-π/2
    2×1.32878829751836-π/2
    2.65757659503671-1.57079632675     		φ = 1.08678027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47891295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08678027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.267923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54 KachelY 142 -2.47891295 1.08678027 -142.031250 62.267923
    Oben rechts KachelX + 1 55 KachelY 142 -2.46664111 1.08678027 -141.328125 62.267923
    Unten links KachelX 54 KachelY + 1 143 -2.47891295 1.08103862 -142.031250 61.938950
    Unten rechts KachelX + 1 55 KachelY + 1 143 -2.46664111 1.08103862 -141.328125 61.938950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08678027-1.08103862) × R
    0.00574165000000004 × 6371000     		dl = 36580.0521500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08678027-1.08103862) × R
    0.00574165000000004 × 6371000     		dr = 36580.0521500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47891295--2.46664111) × cos(1.08678027) × R
    0.0122718399999999 × 0.46533766400578 × 6371000     		do = 36381.9099639761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47891295--2.46664111) × cos(1.08103862) × R
    0.0122718399999999 × 0.470412091102688 × 6371000     		du = 36778.6484273302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08678027)-sin(1.08103862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46533766400578-0.470412091102688)×R²
    abs(-2.46664111--2.47891295)×0.00507442709690781×R²
    0.0122718399999999×0.00507442709690781×6371000²
    0.0122718399999999×0.00507442709690781×40589641000000     		ar = 1338112196.71857m²