Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53999 / 15984
↖ ↑ ↗
← N 79.375806°
W 31.687317°		 ← 56.31 m → N 79.375806°
W 31.684570°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.375299°
W 31.687317°		 ← 56.31 m →
3 171 m²		 N 79.375299°
W 31.684570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411983489990234 y=0.121952056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411983489990234 × 217)
    floor (0.411983489990234 × 131072)
    floor (53999.5)     		tx = 53999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121952056884766 × 217)
    floor (0.121952056884766 × 131072)
    floor (15984.5)     		ty = 15984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53999 / 15984 ti = "17/53999/15984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53999/15984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53999 ÷ 217
    53999 ÷ 131072     		x = 0.411979675292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15984 ÷ 217
    15984 ÷ 131072     		y = 0.1219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411979675292969 × 2 - 1) × π
    -0.176040649414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.55304801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1219482421875 × 2 - 1) × π
    0.756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37536924997302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55304801} λ = -0.55304801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37536924997302))-π/2
    2×atan(10.7549837304219)-π/2
    2×1.47808274282828-π/2
    2.95616548565655-1.57079632675     		φ = 1.38536916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55304801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.687317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38536916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.375806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53999 KachelY 15984 -0.55304801 1.38536916 -31.687317 79.375806
    Oben rechts KachelX + 1 54000 KachelY 15984 -0.55300007 1.38536916 -31.684570 79.375806
    Unten links KachelX 53999 KachelY + 1 15985 -0.55304801 1.38536032 -31.687317 79.375299
    Unten rechts KachelX + 1 54000 KachelY + 1 15985 -0.55300007 1.38536032 -31.684570 79.375299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38536916-1.38536032) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38536916-1.38536032) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55304801--0.55300007) × cos(1.38536916) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184366394460544 × 6371000     		do = 56.3102424593371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55304801--0.55300007) × cos(1.38536032) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184375082914393 × 6371000     		du = 56.3128961367833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38536916)-sin(1.38536032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184366394460544-0.184375082914393)×R²
    abs(-0.55300007--0.55304801)×8.68845384849326e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.68845384849326e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.68845384849326e-06×40589641000000     		ar = 3171.44731089623m²