Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53999 / 14883
↖ ↑ ↗
← N 79.919106°
W 31.687317°		 ← 53.46 m → N 79.919106°
W 31.684570°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.918625°
W 31.687317°		 ← 53.46 m →
2 858 m²		 N 79.918625°
W 31.684570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411983489990234 y=0.113552093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411983489990234 × 217)
    floor (0.411983489990234 × 131072)
    floor (53999.5)     		tx = 53999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113552093505859 × 217)
    floor (0.113552093505859 × 131072)
    floor (14883.5)     		ty = 14883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53999 / 14883 ti = "17/53999/14883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53999/14883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53999 ÷ 217
    53999 ÷ 131072     		x = 0.411979675292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14883 ÷ 217
    14883 ÷ 131072     		y = 0.113548278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411979675292969 × 2 - 1) × π
    -0.176040649414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.55304801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113548278808594 × 2 - 1) × π
    0.772903442382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.4281477764547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55304801} λ = -0.55304801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4281477764547))-π/2
    2×atan(11.3378623637807)-π/2
    2×1.4828239276167-π/2
    2.9656478552334-1.57079632675     		φ = 1.39485153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55304801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.687317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39485153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.919106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53999 KachelY 14883 -0.55304801 1.39485153 -31.687317 79.919106
    Oben rechts KachelX + 1 54000 KachelY 14883 -0.55300007 1.39485153 -31.684570 79.919106
    Unten links KachelX 53999 KachelY + 1 14884 -0.55304801 1.39484314 -31.687317 79.918625
    Unten rechts KachelX + 1 54000 KachelY + 1 14884 -0.55300007 1.39484314 -31.684570 79.918625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39485153-1.39484314) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dl = 53.4526899990968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39485153-1.39484314) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dr = 53.4526899990968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55304801--0.55300007) × cos(1.39485153) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175038426224965 × 6371000     		do = 53.4612408582842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55304801--0.55300007) × cos(1.39484314) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.17504668669065 × 6371000     		du = 53.4637638171288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39485153)-sin(1.39484314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175038426224965-0.17504668669065)×R²
    abs(-0.55300007--0.55304801)×8.26046568505601e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.26046568505601e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.26046568505601e-06×40589641000000     		ar = 2857.71456399811m²