Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53998 / 12398
↖ ↑ ↗
← N 81.046315°
W 31.690064°		 ← 47.54 m → N 81.046315°
W 31.687317°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
N 81.045887°
W 31.690064°		 ← 47.54 m →
2 259 m²		 N 81.045887°
W 31.687317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411975860595703 y=0.0945930480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411975860595703 × 217)
    floor (0.411975860595703 × 131072)
    floor (53998.5)     		tx = 53998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0945930480957031 × 217)
    floor (0.0945930480957031 × 131072)
    floor (12398.5)     		ty = 12398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53998 / 12398 ti = "17/53998/12398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53998/12398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53998 ÷ 217
    53998 ÷ 131072     		x = 0.411972045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12398 ÷ 217
    12398 ÷ 131072     		y = 0.0945892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411972045898438 × 2 - 1) × π
    -0.176055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55309595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0945892333984375 × 2 - 1) × π
    0.810821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54727097201054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55309595} λ = -0.55309595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54727097201054))-π/2
    2×atan(12.7722004856756)-π/2
    2×1.492660682689-π/2
    2.98532136537799-1.57079632675     		φ = 1.41452504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55309595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.690064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41452504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.046315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53998 KachelY 12398 -0.55309595 1.41452504 -31.690064 81.046315
    Oben rechts KachelX + 1 53999 KachelY 12398 -0.55304801 1.41452504 -31.687317 81.046315
    Unten links KachelX 53998 KachelY + 1 12399 -0.55309595 1.41451758 -31.690064 81.045887
    Unten rechts KachelX + 1 53999 KachelY + 1 12399 -0.55304801 1.41451758 -31.687317 81.045887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41452504-1.41451758) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dl = 47.5276599997398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41452504-1.41451758) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dr = 47.5276599997398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55309595--0.55304801) × cos(1.41452504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155636020212857 × 6371000     		do = 47.5352466441357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55309595--0.55304801) × cos(1.41451758) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15564338930448 × 6371000     		du = 47.5374973543978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41452504)-sin(1.41451758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155636020212857-0.15564338930448)×R²
    abs(-0.55304801--0.55309595)×7.36909162321608e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.36909162321608e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.36909162321608e-06×40589641000000     		ar = 2259.29252601046m²