Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53997 / 50116
↖ ↑ ↗
← S 68.536276°
E116.614380°		 ← 223.52 m → S 68.536276°
E116.619873°		 →
↑
223.49 m
↓
↑
223.49 m
↓
S 68.538286°
E116.614380°		 ← 223.50 m →
49 953 m²		 S 68.538286°
E116.619873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823936462402344 y=0.764717102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823936462402344 × 216)
    floor (0.823936462402344 × 65536)
    floor (53997.5)     		tx = 53997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764717102050781 × 216)
    floor (0.764717102050781 × 65536)
    floor (50116.5)     		ty = 50116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53997 / 50116 ti = "16/53997/50116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53997/50116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53997 ÷ 216
    53997 ÷ 65536     		x = 0.823928833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50116 ÷ 216
    50116 ÷ 65536     		y = 0.76470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823928833007812 × 2 - 1) × π
    0.647857666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03530488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.5294189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66321866921747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03530488} λ = 2.03530488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66321866921747))-π/2
    2×atan(0.189527969467284)-π/2
    2×0.18730632315388-π/2
    0.374612646307761-1.57079632675     		φ = -1.19618368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03530488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.614380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19618368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.536276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53997 KachelY 50116 2.03530488 -1.19618368 116.614380 -68.536276
    Oben rechts KachelX + 1 53998 KachelY 50116 2.03540076 -1.19618368 116.619873 -68.536276
    Unten links KachelX 53997 KachelY + 1 50117 2.03530488 -1.19621876 116.614380 -68.538286
    Unten rechts KachelX + 1 53998 KachelY + 1 50117 2.03540076 -1.19621876 116.619873 -68.538286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19618368--1.19621876) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dl = 223.494679999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19618368--1.19621876) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dr = 223.494679999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03530488-2.03540076) × cos(-1.19618368) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365912066507116 × 6371000     		do = 223.517927375584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03530488-2.03540076) × cos(-1.19621876) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365879419100009 × 6371000     		du = 223.497984658634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19618368)-sin(-1.19621876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365912066507116-0.365879419100009)×R²
    abs(2.03540076-2.03530488)×3.26474071073446e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.26474071073446e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.26474071073446e-05×40589641000000     		ar = 49952.8391125912m²