Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53997 / 16020
↖ ↑ ↗
← N 79.357561°
W 31.692810°		 ← 56.39 m → N 79.357561°
W 31.690064°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.357054°
W 31.692810°		 ← 56.40 m →
3 180 m²		 N 79.357054°
W 31.690064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411968231201172 y=0.122226715087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411968231201172 × 217)
    floor (0.411968231201172 × 131072)
    floor (53997.5)     		tx = 53997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122226715087891 × 217)
    floor (0.122226715087891 × 131072)
    floor (16020.5)     		ty = 16020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53997 / 16020 ti = "17/53997/16020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53997/16020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53997 ÷ 217
    53997 ÷ 131072     		x = 0.411964416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16020 ÷ 217
    16020 ÷ 131072     		y = 0.122222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411964416503906 × 2 - 1) × π
    -0.176071166992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.55314388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122222900390625 × 2 - 1) × π
    0.75555419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3736435215867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55314388} λ = -0.55314388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3736435215867))-π/2
    2×atan(10.7364395554107)-π/2
    2×1.47792352467942-π/2
    2.95584704935883-1.57079632675     		φ = 1.38505072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55314388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.692810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38505072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.357561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53997 KachelY 16020 -0.55314388 1.38505072 -31.692810 79.357561
    Oben rechts KachelX + 1 53998 KachelY 16020 -0.55309595 1.38505072 -31.690064 79.357561
    Unten links KachelX 53997 KachelY + 1 16021 -0.55314388 1.38504187 -31.692810 79.357054
    Unten rechts KachelX + 1 53998 KachelY + 1 16021 -0.55309595 1.38504187 -31.690064 79.357054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38505072-1.38504187) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38505072-1.38504187) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55314388--0.55309595) × cos(1.38505072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184679366276907 × 6371000     		do = 56.3940661854644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55314388--0.55309595) × cos(1.38504187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184688064039281 × 6371000     		du = 56.3967221518395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38505072)-sin(1.38504187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184679366276907-0.184688064039281)×R²
    abs(-0.55309595--0.55314388)×8.69776237444331e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.69776237444331e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.69776237444331e-06×40589641000000     		ar = 3179.76124767317m²