Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53997 / 13579
↖ ↑ ↗
← N 80.527100°
W 31.692810°		 ← 50.26 m → N 80.527100°
W 31.690064°		 →
↑
50.27 m
↓
↑
50.27 m
↓
N 80.526648°
W 31.692810°		 ← 50.26 m →
2 526 m²		 N 80.526648°
W 31.690064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411968231201172 y=0.103603363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411968231201172 × 217)
    floor (0.411968231201172 × 131072)
    floor (53997.5)     		tx = 53997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103603363037109 × 217)
    floor (0.103603363037109 × 131072)
    floor (13579.5)     		ty = 13579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53997 / 13579 ti = "17/53997/13579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53997/13579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53997 ÷ 217
    53997 ÷ 131072     		x = 0.411964416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13579 ÷ 217
    13579 ÷ 131072     		y = 0.103599548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411964416503906 × 2 - 1) × π
    -0.176071166992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.55314388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103599548339844 × 2 - 1) × π
    0.792800903320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.49065749355926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55314388} λ = -0.55314388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49065749355926))-π/2
    2×atan(12.0692089394132)-π/2
    2×1.48812967965221-π/2
    2.97625935930442-1.57079632675     		φ = 1.40546303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55314388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.692810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40546303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.527100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53997 KachelY 13579 -0.55314388 1.40546303 -31.692810 80.527100
    Oben rechts KachelX + 1 53998 KachelY 13579 -0.55309595 1.40546303 -31.690064 80.527100
    Unten links KachelX 53997 KachelY + 1 13580 -0.55314388 1.40545514 -31.692810 80.526648
    Unten rechts KachelX + 1 53998 KachelY + 1 13580 -0.55309595 1.40545514 -31.690064 80.526648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40546303-1.40545514) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dl = 50.2671900000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40546303-1.40545514) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dr = 50.2671900000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55314388--0.55309595) × cos(1.40546303) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164581091937529 × 6371000     		do = 50.2568163336913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55314388--0.55309595) × cos(1.40545514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164588874340861 × 6371000     		du = 50.2591927841711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40546303)-sin(1.40545514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164581091937529-0.164588874340861)×R²
    abs(-0.55309595--0.55314388)×7.78240333229596e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.78240333229596e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.78240333229596e-06×40589641000000     		ar = 2526.32866425781m²