Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53996 / 13164
↖ ↑ ↗
← N 80.712866°
W 31.695557°		 ← 49.29 m → N 80.712866°
W 31.692810°		 →
↑
49.31 m
↓
↑
49.31 m
↓
N 80.712423°
W 31.695557°		 ← 49.29 m →
2 431 m²		 N 80.712423°
W 31.692810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411960601806641 y=0.100437164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411960601806641 × 217)
    floor (0.411960601806641 × 131072)
    floor (53996.5)     		tx = 53996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100437164306641 × 217)
    floor (0.100437164306641 × 131072)
    floor (13164.5)     		ty = 13164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53996 / 13164 ti = "17/53996/13164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53996/13164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53996 ÷ 217
    53996 ÷ 131072     		x = 0.411956787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13164 ÷ 217
    13164 ÷ 131072     		y = 0.100433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411956787109375 × 2 - 1) × π
    -0.17608642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55319182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100433349609375 × 2 - 1) × π
    0.79913330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51055130690158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55319182} λ = -0.55319182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51055130690158))-π/2
    2×atan(12.3117157236958)-π/2
    2×1.48975079232238-π/2
    2.97950158464477-1.57079632675     		φ = 1.40870526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55319182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.695557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40870526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.712866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53996 KachelY 13164 -0.55319182 1.40870526 -31.695557 80.712866
    Oben rechts KachelX + 1 53997 KachelY 13164 -0.55314388 1.40870526 -31.692810 80.712866
    Unten links KachelX 53996 KachelY + 1 13165 -0.55319182 1.40869752 -31.695557 80.712423
    Unten rechts KachelX + 1 53997 KachelY + 1 13165 -0.55314388 1.40869752 -31.692810 80.712423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40870526-1.40869752) × R
    7.74000000003383e-06 × 6371000     		dl = 49.3115400002155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40870526-1.40869752) × R
    7.74000000003383e-06 × 6371000     		dr = 49.3115400002155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55319182--0.55314388) × cos(1.40870526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161382214986998 × 6371000     		do = 49.2902824352107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55319182--0.55314388) × cos(1.40869752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161389853526091 × 6371000     		du = 49.2926154416657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40870526)-sin(1.40869752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161382214986998-0.161389853526091)×R²
    abs(-0.55314388--0.55319182)×7.63853909307999e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.63853909307999e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.63853909307999e-06×40589641000000     		ar = 2430.63725613608m²