Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53994 / 13321
↖ ↑ ↗
← N 80.643017°
W 31.701050°		 ← 49.66 m → N 80.643017°
W 31.698303°		 →
↑
49.69 m
↓
↑
49.69 m
↓
N 80.642570°
W 31.701050°		 ← 49.66 m →
2 468 m²		 N 80.642570°
W 31.698303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411945343017578 y=0.101634979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411945343017578 × 217)
    floor (0.411945343017578 × 131072)
    floor (53994.5)     		tx = 53994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101634979248047 × 217)
    floor (0.101634979248047 × 131072)
    floor (13321.5)     		ty = 13321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53994 / 13321 ti = "17/53994/13321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53994/13321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53994 ÷ 217
    53994 ÷ 131072     		x = 0.411941528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13321 ÷ 217
    13321 ÷ 131072     		y = 0.101631164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411941528320312 × 2 - 1) × π
    -0.176116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55328770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101631164550781 × 2 - 1) × π
    0.796737670898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.50302521366123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55328770} λ = -0.55328770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50302521366123))-π/2
    2×atan(12.21940441071)-π/2
    2×1.48914124277144-π/2
    2.97828248554289-1.57079632675     		φ = 1.40748616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55328770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.701050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40748616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.643017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53994 KachelY 13321 -0.55328770 1.40748616 -31.701050 80.643017
    Oben rechts KachelX + 1 53995 KachelY 13321 -0.55323976 1.40748616 -31.698303 80.643017
    Unten links KachelX 53994 KachelY + 1 13322 -0.55328770 1.40747836 -31.701050 80.642570
    Unten rechts KachelX + 1 53995 KachelY + 1 13322 -0.55323976 1.40747836 -31.698303 80.642570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40748616-1.40747836) × R
    7.79999999989123e-06 × 6371000     		dl = 49.693799999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40748616-1.40747836) × R
    7.79999999989123e-06 × 6371000     		dr = 49.693799999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55328770--0.55323976) × cos(1.40748616) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162585214778613 × 6371000     		do = 49.6577095368991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55328770--0.55323976) × cos(1.40747836) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162592910990813 × 6371000     		du = 49.6600601582055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40748616)-sin(1.40747836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162585214778613-0.162592910990813)×R²
    abs(-0.55323976--0.55328770)×7.69621219984251e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.69621219984251e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.69621219984251e-06×40589641000000     		ar = 2467.73869180599m²