Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53992 / 20825
↖ ↑ ↗
← N 54.696059°
E116.586914°		 ← 352.98 m → N 54.696059°
E116.592407°		 →
↑
353.02 m
↓
↑
353.02 m
↓
N 54.692884°
E116.586914°		 ← 353.01 m →
124 614 m²		 N 54.692884°
E116.592407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823860168457031 y=0.317771911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823860168457031 × 216)
    floor (0.823860168457031 × 65536)
    floor (53992.5)     		tx = 53992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317771911621094 × 216)
    floor (0.317771911621094 × 65536)
    floor (20825.5)     		ty = 20825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53992 / 20825 ti = "16/53992/20825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53992/20825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53992 ÷ 216
    53992 ÷ 65536     		x = 0.8238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20825 ÷ 216
    20825 ÷ 65536     		y = 0.317764282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8238525390625 × 2 - 1) × π
    0.647705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03482552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317764282226562 × 2 - 1) × π
    0.364471435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14502078432466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03482552} λ = 2.03482552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14502078432466))-π/2
    2×atan(3.14250667103931)-π/2
    2×1.26271132277257-π/2
    2.52542264554513-1.57079632675     		φ = 0.95462632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03482552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95462632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.696059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53992 KachelY 20825 2.03482552 0.95462632 116.586914 54.696059
    Oben rechts KachelX + 1 53993 KachelY 20825 2.03492139 0.95462632 116.592407 54.696059
    Unten links KachelX 53992 KachelY + 1 20826 2.03482552 0.95457091 116.586914 54.692884
    Unten rechts KachelX + 1 53993 KachelY + 1 20826 2.03492139 0.95457091 116.592407 54.692884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95462632-0.95457091) × R
    5.5409999999978e-05 × 6371000     		dl = 353.01710999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95462632-0.95457091) × R
    5.5409999999978e-05 × 6371000     		dr = 353.01710999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03482552-2.03492139) × cos(0.95462632) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57791375764633 × 6371000     		do = 352.982655285115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03482552-2.03492139) × cos(0.95457091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577958976740591 × 6371000     		du = 353.01027455486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95462632)-sin(0.95457091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57791375764633-0.577958976740591)×R²
    abs(2.03492139-2.03482552)×4.52190942611397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52190942611397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52190942611397e-05×40589641000000     		ar = 124613.791918454m²