Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53992 / 13322
↖ ↑ ↗
← N 80.642570°
W 31.706543°		 ← 49.66 m → N 80.642570°
W 31.703796°		 →
↑
49.63 m
↓
↑
49.63 m
↓
N 80.642123°
W 31.706543°		 ← 49.66 m →
2 465 m²		 N 80.642123°
W 31.703796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411930084228516 y=0.101642608642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411930084228516 × 217)
    floor (0.411930084228516 × 131072)
    floor (53992.5)     		tx = 53992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101642608642578 × 217)
    floor (0.101642608642578 × 131072)
    floor (13322.5)     		ty = 13322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53992 / 13322 ti = "17/53992/13322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53992/13322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53992 ÷ 217
    53992 ÷ 131072     		x = 0.41192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13322 ÷ 217
    13322 ÷ 131072     		y = 0.101638793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55338357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101638793945312 × 2 - 1) × π
    0.796722412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50297727676161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55338357} λ = -0.55338357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50297727676161))-π/2
    2×atan(12.2188186643868)-π/2
    2×1.48913734576369-π/2
    2.97827469152738-1.57079632675     		φ = 1.40747836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55338357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.706543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40747836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.642570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53992 KachelY 13322 -0.55338357 1.40747836 -31.706543 80.642570
    Oben rechts KachelX + 1 53993 KachelY 13322 -0.55333563 1.40747836 -31.703796 80.642570
    Unten links KachelX 53992 KachelY + 1 13323 -0.55338357 1.40747057 -31.706543 80.642123
    Unten rechts KachelX + 1 53993 KachelY + 1 13323 -0.55333563 1.40747057 -31.703796 80.642123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40747836-1.40747057) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dl = 49.6300899996942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40747836-1.40747057) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dr = 49.6300899996942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55338357--0.55333563) × cos(1.40747836) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162592910990813 × 6371000     		do = 49.6600601582055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55338357--0.55333563) × cos(1.40747057) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162600597326201 × 6371000     		du = 49.6624077628793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40747836)-sin(1.40747057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162592910990813-0.162600597326201)×R²
    abs(-0.55333563--0.55338357)×7.68633538805741e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.68633538805741e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.68633538805741e-06×40589641000000     		ar = 2464.69151100871m²