Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53991 / 16016
↖ ↑ ↗
← N 79.359590°
W 31.709290°		 ← 56.40 m → N 79.359590°
W 31.706543°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.359082°
W 31.709290°		 ← 56.40 m →
3 180 m²		 N 79.359082°
W 31.706543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411922454833984 y=0.122196197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411922454833984 × 217)
    floor (0.411922454833984 × 131072)
    floor (53991.5)     		tx = 53991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122196197509766 × 217)
    floor (0.122196197509766 × 131072)
    floor (16016.5)     		ty = 16016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53991 / 16016 ti = "17/53991/16016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53991/16016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53991 ÷ 217
    53991 ÷ 131072     		x = 0.411918640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16016 ÷ 217
    16016 ÷ 131072     		y = 0.1221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411918640136719 × 2 - 1) × π
    -0.176162719726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55343151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1221923828125 × 2 - 1) × π
    0.755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37383526918518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55343151} λ = -0.55343151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37383526918518))-π/2
    2×atan(10.7384984392984)-π/2
    2×1.47794122892343-π/2
    2.95588245784686-1.57079632675     		φ = 1.38508613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55343151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.709290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38508613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.359590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53991 KachelY 16016 -0.55343151 1.38508613 -31.709290 79.359590
    Oben rechts KachelX + 1 53992 KachelY 16016 -0.55338357 1.38508613 -31.706543 79.359590
    Unten links KachelX 53991 KachelY + 1 16017 -0.55343151 1.38507728 -31.709290 79.359082
    Unten rechts KachelX + 1 53992 KachelY + 1 16017 -0.55338357 1.38507728 -31.706543 79.359082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38508613-1.38507728) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38508613-1.38507728) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55343151--0.55338357) × cos(1.38508613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184644565254717 × 6371000     		do = 56.3952029798631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55343151--0.55338357) × cos(1.38507728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184653263074962 × 6371000     		du = 56.3978595180478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38508613)-sin(1.38507728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184644565254717-0.184653263074962)×R²
    abs(-0.55338357--0.55343151)×8.69782024487398e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.69782024487398e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.69782024487398e-06×40589641000000     		ar = 3179.82536037288m²