Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53991 / 13305
↖ ↑ ↗
← N 80.650159°
W 31.709290°		 ← 49.62 m → N 80.650159°
W 31.706543°		 →
↑
49.63 m
↓
↑
49.63 m
↓
N 80.649712°
W 31.709290°		 ← 49.62 m →
2 463 m²		 N 80.649712°
W 31.706543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411922454833984 y=0.101512908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411922454833984 × 217)
    floor (0.411922454833984 × 131072)
    floor (53991.5)     		tx = 53991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101512908935547 × 217)
    floor (0.101512908935547 × 131072)
    floor (13305.5)     		ty = 13305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53991 / 13305 ti = "17/53991/13305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53991/13305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53991 ÷ 217
    53991 ÷ 131072     		x = 0.411918640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13305 ÷ 217
    13305 ÷ 131072     		y = 0.101509094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411918640136719 × 2 - 1) × π
    -0.176162719726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55343151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101509094238281 × 2 - 1) × π
    0.796981811523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.50379220405515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55343151} λ = -0.55343151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50379220405515))-π/2
    2×atan(12.2287801716121)-π/2
    2×1.48920356983365-π/2
    2.97840713966729-1.57079632675     		φ = 1.40761081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55343151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.709290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40761081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.650159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53991 KachelY 13305 -0.55343151 1.40761081 -31.709290 80.650159
    Oben rechts KachelX + 1 53992 KachelY 13305 -0.55338357 1.40761081 -31.706543 80.650159
    Unten links KachelX 53991 KachelY + 1 13306 -0.55343151 1.40760302 -31.709290 80.649712
    Unten rechts KachelX + 1 53992 KachelY + 1 13306 -0.55338357 1.40760302 -31.706543 80.649712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40761081-1.40760302) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dl = 49.6300899996942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40761081-1.40760302) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dr = 49.6300899996942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55343151--0.55338357) × cos(1.40761081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162462222045679 × 6371000     		do = 49.6201443903134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55343151--0.55338357) × cos(1.40760302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162469908548765 × 6371000     		du = 49.6224920462063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40761081)-sin(1.40760302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162462222045679-0.162469908548765)×R²
    abs(-0.55338357--0.55343151)×7.6865030856077e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.6865030856077e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.6865030856077e-06×40589641000000     		ar = 2462.7104892095m²