Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53990 / 49990
↖ ↑ ↗
← S 68.281586°
E116.575928°		 ← 226.02 m → S 68.281586°
E116.581421°		 →
↑
226.04 m
↓
↑
226.04 m
↓
S 68.283619°
E116.575928°		 ← 226 m →
51 088 m²		 S 68.283619°
E116.581421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823829650878906 y=0.762794494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823829650878906 × 216)
    floor (0.823829650878906 × 65536)
    floor (53990.5)     		tx = 53990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762794494628906 × 216)
    floor (0.762794494628906 × 65536)
    floor (49990.5)     		ty = 49990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53990 / 49990 ti = "16/53990/49990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53990/49990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53990 ÷ 216
    53990 ÷ 65536     		x = 0.823822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49990 ÷ 216
    49990 ÷ 65536     		y = 0.762786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823822021484375 × 2 - 1) × π
    0.64764404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03463377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.52557373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65113857051321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03463377} λ = 2.03463377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65113857051321))-π/2
    2×atan(0.191831370691762)-π/2
    2×0.18952891297571-π/2
    0.37905782595142-1.57079632675     		φ = -1.19173850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03463377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.575928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19173850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.281586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53990 KachelY 49990 2.03463377 -1.19173850 116.575928 -68.281586
    Oben rechts KachelX + 1 53991 KachelY 49990 2.03472964 -1.19173850 116.581421 -68.281586
    Unten links KachelX 53990 KachelY + 1 49991 2.03463377 -1.19177398 116.575928 -68.283619
    Unten rechts KachelX + 1 53991 KachelY + 1 49991 2.03472964 -1.19177398 116.581421 -68.283619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19173850--1.19177398) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dl = 226.043079999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19173850--1.19177398) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dr = 226.043079999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03463377-2.03472964) × cos(-1.19173850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370045341975017 × 6371000     		do = 226.019169223803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03463377-2.03472964) × cos(-1.19177398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370012380336224 × 6371000     		du = 225.999036657949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19173850)-sin(-1.19177398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370045341975017-0.370012380336224)×R²
    abs(2.03472964-2.03463377)×3.29616387920728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29616387920728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29616387920728e-05×40589641000000     		ar = 51087.7937420881m²