Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53990 / 13610
↖ ↑ ↗
← N 80.513077°
W 31.712036°		 ← 50.33 m → N 80.513077°
W 31.709290°		 →
↑
50.33 m
↓
↑
50.33 m
↓
N 80.512624°
W 31.712036°		 ← 50.33 m →
2 533 m²		 N 80.512624°
W 31.709290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411914825439453 y=0.103839874267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411914825439453 × 217)
    floor (0.411914825439453 × 131072)
    floor (53990.5)     		tx = 53990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103839874267578 × 217)
    floor (0.103839874267578 × 131072)
    floor (13610.5)     		ty = 13610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53990 / 13610 ti = "17/53990/13610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53990/13610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53990 ÷ 217
    53990 ÷ 131072     		x = 0.411911010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13610 ÷ 217
    13610 ÷ 131072     		y = 0.103836059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411911010742188 × 2 - 1) × π
    -0.176177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55347944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103836059570312 × 2 - 1) × π
    0.792327880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48917144967104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55347944} λ = -0.55347944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48917144967104))-π/2
    2×atan(12.051286885011)-π/2
    2×1.48800730262541-π/2
    2.97601460525083-1.57079632675     		φ = 1.40521828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55347944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.712036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40521828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.513077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53990 KachelY 13610 -0.55347944 1.40521828 -31.712036 80.513077
    Oben rechts KachelX + 1 53991 KachelY 13610 -0.55343151 1.40521828 -31.709290 80.513077
    Unten links KachelX 53990 KachelY + 1 13611 -0.55347944 1.40521038 -31.712036 80.512624
    Unten rechts KachelX + 1 53991 KachelY + 1 13611 -0.55343151 1.40521038 -31.709290 80.512624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40521828-1.40521038) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dl = 50.330899999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40521828-1.40521038) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dr = 50.330899999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55347944--0.55343151) × cos(1.40521828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164822499485982 × 6371000     		do = 50.3305330327443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55347944--0.55343151) × cos(1.40521038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164830291434474 × 6371000     		du = 50.3329123979535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40521828)-sin(1.40521038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164822499485982-0.164830291434474)×R²
    abs(-0.55343151--0.55347944)×7.79194849220843e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.79194849220843e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.79194849220843e-06×40589641000000     		ar = 2533.24090277659m²