Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53989 / 13613
↖ ↑ ↗
← N 80.511718°
W 31.714783°		 ← 50.35 m → N 80.511718°
W 31.712036°		 →
↑
50.33 m
↓
↑
50.33 m
↓
N 80.511266°
W 31.714783°		 ← 50.35 m →
2 534 m²		 N 80.511266°
W 31.712036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411907196044922 y=0.103862762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411907196044922 × 217)
    floor (0.411907196044922 × 131072)
    floor (53989.5)     		tx = 53989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103862762451172 × 217)
    floor (0.103862762451172 × 131072)
    floor (13613.5)     		ty = 13613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53989 / 13613 ti = "17/53989/13613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53989/13613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53989 ÷ 217
    53989 ÷ 131072     		x = 0.411903381347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13613 ÷ 217
    13613 ÷ 131072     		y = 0.103858947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411903381347656 × 2 - 1) × π
    -0.176193237304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.55352738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103858947753906 × 2 - 1) × π
    0.792282104492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.48902763897218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55352738} λ = -0.55352738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48902763897218))-π/2
    2×atan(12.0495539056354)-π/2
    2×1.48799545016531-π/2
    2.97599090033061-1.57079632675     		φ = 1.40519457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55352738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.714783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40519457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.511718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53989 KachelY 13613 -0.55352738 1.40519457 -31.714783 80.511718
    Oben rechts KachelX + 1 53990 KachelY 13613 -0.55347944 1.40519457 -31.712036 80.511718
    Unten links KachelX 53989 KachelY + 1 13614 -0.55352738 1.40518667 -31.714783 80.511266
    Unten rechts KachelX + 1 53990 KachelY + 1 13614 -0.55347944 1.40518667 -31.712036 80.511266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40519457-1.40518667) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dl = 50.330899999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40519457-1.40518667) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dr = 50.330899999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55352738--0.55347944) × cos(1.40519457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164845885163791 × 6371000     		do = 50.3481764620728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55352738--0.55347944) × cos(1.40518667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164853677081407 × 6371000     		du = 50.3505563142769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40519457)-sin(1.40518667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164845885163791-0.164853677081407)×R²
    abs(-0.55347944--0.55352738)×7.79191761657305e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.79191761657305e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.79191761657305e-06×40589641000000     		ar = 2534.12892478842m²