Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53988 / 15331
↖ ↑ ↗
← N 79.701434°
W 31.717529°		 ← 54.60 m → N 79.701434°
W 31.714783°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
N 79.700943°
W 31.717529°		 ← 54.61 m →
2 981 m²		 N 79.700943°
W 31.714783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411899566650391 y=0.116970062255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411899566650391 × 217)
    floor (0.411899566650391 × 131072)
    floor (53988.5)     		tx = 53988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116970062255859 × 217)
    floor (0.116970062255859 × 131072)
    floor (15331.5)     		ty = 15331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53988 / 15331 ti = "17/53988/15331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53988/15331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53988 ÷ 217
    53988 ÷ 131072     		x = 0.411895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15331 ÷ 217
    15331 ÷ 131072     		y = 0.116966247558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.17620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55357532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116966247558594 × 2 - 1) × π
    0.766067504882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.40667204542492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55357532} λ = -0.55357532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40667204542492))-π/2
    2×atan(11.0969694156725)-π/2
    2×1.48092438161508-π/2
    2.96184876323017-1.57079632675     		φ = 1.39105244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55357532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.717529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39105244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.701434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53988 KachelY 15331 -0.55357532 1.39105244 -31.717529 79.701434
    Oben rechts KachelX + 1 53989 KachelY 15331 -0.55352738 1.39105244 -31.714783 79.701434
    Unten links KachelX 53988 KachelY + 1 15332 -0.55357532 1.39104387 -31.717529 79.700943
    Unten rechts KachelX + 1 53989 KachelY + 1 15332 -0.55352738 1.39104387 -31.714783 79.700943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39105244-1.39104387) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dl = 54.5994699992005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39105244-1.39104387) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dr = 54.5994699992005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55357532--0.55352738) × cos(1.39105244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178777592195468 × 6371000     		do = 54.6032783916831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55357532--0.55352738) × cos(1.39104387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178786024122023 × 6371000     		du = 54.605853719091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39105244)-sin(1.39104387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178777592195468-0.178786024122023)×R²
    abs(-0.55352738--0.55357532)×8.43192655552993e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.43192655552993e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.43192655552993e-06×40589641000000     		ar = 2981.38036617851m²