Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53988 / 13283
↖ ↑ ↗
← N 80.659971°
W 31.717529°		 ← 49.57 m → N 80.659971°
W 31.714783°		 →
↑
49.57 m
↓
↑
49.57 m
↓
N 80.659525°
W 31.717529°		 ← 49.57 m →
2 457 m²		 N 80.659525°
W 31.714783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411899566650391 y=0.101345062255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411899566650391 × 217)
    floor (0.411899566650391 × 131072)
    floor (53988.5)     		tx = 53988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101345062255859 × 217)
    floor (0.101345062255859 × 131072)
    floor (13283.5)     		ty = 13283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53988 / 13283 ti = "17/53988/13283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53988/13283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53988 ÷ 217
    53988 ÷ 131072     		x = 0.411895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13283 ÷ 217
    13283 ÷ 131072     		y = 0.101341247558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.17620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55357532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101341247558594 × 2 - 1) × π
    0.797317504882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.50484681584679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55357532} λ = -0.55357532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50484681584679))-π/2
    2×atan(12.2416835902312)-π/2
    2×1.48928919256199-π/2
    2.97857838512398-1.57079632675     		φ = 1.40778206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55357532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.717529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40778206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.659971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53988 KachelY 13283 -0.55357532 1.40778206 -31.717529 80.659971
    Oben rechts KachelX + 1 53989 KachelY 13283 -0.55352738 1.40778206 -31.714783 80.659971
    Unten links KachelX 53988 KachelY + 1 13284 -0.55357532 1.40777428 -31.717529 80.659525
    Unten rechts KachelX + 1 53989 KachelY + 1 13284 -0.55352738 1.40777428 -31.714783 80.659525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40778206-1.40777428) × R
    7.78000000001278e-06 × 6371000     		dl = 49.5663800000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40778206-1.40777428) × R
    7.78000000001278e-06 × 6371000     		dr = 49.5663800000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55357532--0.55352738) × cos(1.40778206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162293244760862 × 6371000     		do = 49.5685343780548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55357532--0.55352738) × cos(1.40777428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162300921613157 × 6371000     		du = 49.5708790863481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40778206)-sin(1.40777428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162293244760862-0.162300921613157)×R²
    abs(-0.55352738--0.55357532)×7.67685229569048e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.67685229569048e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.67685229569048e-06×40589641000000     		ar = 2456.99092034466m²