Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53987 / 13371
↖ ↑ ↗
← N 80.620663°
W 31.720276°		 ← 49.76 m → N 80.620663°
W 31.717529°		 →
↑
49.82 m
↓
↑
49.82 m
↓
N 80.620215°
W 31.720276°		 ← 49.77 m →
2 479 m²		 N 80.620215°
W 31.717529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411891937255859 y=0.102016448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411891937255859 × 217)
    floor (0.411891937255859 × 131072)
    floor (53987.5)     		tx = 53987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102016448974609 × 217)
    floor (0.102016448974609 × 131072)
    floor (13371.5)     		ty = 13371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53987 / 13371 ti = "17/53987/13371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53987/13371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53987 ÷ 217
    53987 ÷ 131072     		x = 0.411888122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13371 ÷ 217
    13371 ÷ 131072     		y = 0.102012634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411888122558594 × 2 - 1) × π
    -0.176223754882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.55362325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102012634277344 × 2 - 1) × π
    0.795974731445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.50062836868023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55362325} λ = -0.55362325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50062836868023))-π/2
    2×atan(12.1901514639711)-π/2
    2×1.48894616641453-π/2
    2.97789233282906-1.57079632675     		φ = 1.40709601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55362325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.720276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40709601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.620663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53987 KachelY 13371 -0.55362325 1.40709601 -31.720276 80.620663
    Oben rechts KachelX + 1 53988 KachelY 13371 -0.55357532 1.40709601 -31.717529 80.620663
    Unten links KachelX 53987 KachelY + 1 13372 -0.55362325 1.40708819 -31.720276 80.620215
    Unten rechts KachelX + 1 53988 KachelY + 1 13372 -0.55357532 1.40708819 -31.717529 80.620215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40709601-1.40708819) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dl = 49.8212199999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40709601-1.40708819) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dr = 49.8212199999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55362325--0.55357532) × cos(1.40709601) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162970161256197 × 6371000     		do = 49.7648992706502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55362325--0.55357532) × cos(1.40708819) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16297787670562 × 6371000     		du = 49.7672552759482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40709601)-sin(1.40708819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162970161256197-0.16297787670562)×R²
    abs(-0.55357532--0.55362325)×7.71544942257396e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.71544942257396e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.71544942257396e-06×40589641000000     		ar = 2479.40668431807m²