Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53987 / 13281
↖ ↑ ↗
← N 80.660862°
W 31.720276°		 ← 49.55 m → N 80.660862°
W 31.717529°		 →
↑
49.57 m
↓
↑
49.57 m
↓
N 80.660416°
W 31.720276°		 ← 49.56 m →
2 456 m²		 N 80.660416°
W 31.717529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411891937255859 y=0.101329803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411891937255859 × 217)
    floor (0.411891937255859 × 131072)
    floor (53987.5)     		tx = 53987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101329803466797 × 217)
    floor (0.101329803466797 × 131072)
    floor (13281.5)     		ty = 13281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53987 / 13281 ti = "17/53987/13281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53987/13281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53987 ÷ 217
    53987 ÷ 131072     		x = 0.411888122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13281 ÷ 217
    13281 ÷ 131072     		y = 0.101325988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411888122558594 × 2 - 1) × π
    -0.176223754882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.55362325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101325988769531 × 2 - 1) × π
    0.797348022460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.50494268964603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55362325} λ = -0.55362325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50494268964603))-π/2
    2×atan(12.2428573032094)-π/2
    2×1.48929697202907-π/2
    2.97859394405813-1.57079632675     		φ = 1.40779762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55362325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.720276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40779762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.660862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53987 KachelY 13281 -0.55362325 1.40779762 -31.720276 80.660862
    Oben rechts KachelX + 1 53988 KachelY 13281 -0.55357532 1.40779762 -31.717529 80.660862
    Unten links KachelX 53987 KachelY + 1 13282 -0.55362325 1.40778984 -31.720276 80.660416
    Unten rechts KachelX + 1 53988 KachelY + 1 13282 -0.55357532 1.40778984 -31.717529 80.660416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40779762-1.40778984) × R
    7.78000000001278e-06 × 6371000     		dl = 49.5663800000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40779762-1.40778984) × R
    7.78000000001278e-06 × 6371000     		dr = 49.5663800000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55362325--0.55357532) × cos(1.40779762) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162277891026801 × 6371000     		do = 49.553506228093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55362325--0.55357532) × cos(1.40778984) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162285567898743 × 6371000     		du = 49.5558504532932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40779762)-sin(1.40778984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162277891026801-0.162285567898743)×R²
    abs(-0.55357532--0.55362325)×7.67687194191957e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.67687194191957e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.67687194191957e-06×40589641000000     		ar = 2456.24601753941m²