Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53987 / 13085
↖ ↑ ↗
← N 80.747817°
W 31.720276°		 ← 49.10 m → N 80.747817°
W 31.717529°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
N 80.747376°
W 31.720276°		 ← 49.10 m →
2 409 m²		 N 80.747376°
W 31.717529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411891937255859 y=0.0998344421386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411891937255859 × 217)
    floor (0.411891937255859 × 131072)
    floor (53987.5)     		tx = 53987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0998344421386719 × 217)
    floor (0.0998344421386719 × 131072)
    floor (13085.5)     		ty = 13085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53987 / 13085 ti = "17/53987/13085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53987/13085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53987 ÷ 217
    53987 ÷ 131072     		x = 0.411888122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13085 ÷ 217
    13085 ÷ 131072     		y = 0.0998306274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411888122558594 × 2 - 1) × π
    -0.176223754882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.55362325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0998306274414062 × 2 - 1) × π
    0.800338745117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.51433832197157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55362325} λ = -0.55362325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51433832197157))-π/2
    2×atan(12.3584287723606)-π/2
    2×1.49005580042769-π/2
    2.98011160085538-1.57079632675     		φ = 1.40931527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55362325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.720276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40931527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.747817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53987 KachelY 13085 -0.55362325 1.40931527 -31.720276 80.747817
    Oben rechts KachelX + 1 53988 KachelY 13085 -0.55357532 1.40931527 -31.717529 80.747817
    Unten links KachelX 53987 KachelY + 1 13086 -0.55362325 1.40930757 -31.720276 80.747376
    Unten rechts KachelX + 1 53988 KachelY + 1 13086 -0.55357532 1.40930757 -31.717529 80.747376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40931527-1.40930757) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40931527-1.40930757) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55362325--0.55357532) × cos(1.40931527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160780171021316 × 6371000     		do = 49.0961594068464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55362325--0.55357532) × cos(1.40930757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160787770841409 × 6371000     		du = 49.0984801033374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40931527)-sin(1.40930757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160780171021316-0.160787770841409)×R²
    abs(-0.55357532--0.55362325)×7.59982009237992e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.59982009237992e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.59982009237992e-06×40589641000000     		ar = 2408.55248619508m²