Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53987 / 11607
↖ ↑ ↗
← N 81.378185°
W 31.720276°		 ← 45.78 m → N 81.378185°
W 31.717529°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
N 81.377773°
W 31.720276°		 ← 45.78 m →
2 097 m²		 N 81.377773°
W 31.717529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411891937255859 y=0.0885581970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411891937255859 × 217)
    floor (0.411891937255859 × 131072)
    floor (53987.5)     		tx = 53987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0885581970214844 × 217)
    floor (0.0885581970214844 × 131072)
    floor (11607.5)     		ty = 11607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53987 / 11607 ti = "17/53987/11607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53987/11607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53987 ÷ 217
    53987 ÷ 131072     		x = 0.411888122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11607 ÷ 217
    11607 ÷ 131072     		y = 0.0885543823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411888122558594 × 2 - 1) × π
    -0.176223754882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.55362325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0885543823242188 × 2 - 1) × π
    0.822891235351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.58518905961001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55362325} λ = -0.55362325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58518905961001))-π/2
    2×atan(13.2657968792842)-π/2
    2×1.49555679908029-π/2
    2.99111359816059-1.57079632675     		φ = 1.42031727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55362325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.720276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42031727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.378185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53987 KachelY 11607 -0.55362325 1.42031727 -31.720276 81.378185
    Oben rechts KachelX + 1 53988 KachelY 11607 -0.55357532 1.42031727 -31.717529 81.378185
    Unten links KachelX 53987 KachelY + 1 11608 -0.55362325 1.42031008 -31.720276 81.377773
    Unten rechts KachelX + 1 53988 KachelY + 1 11608 -0.55357532 1.42031008 -31.717529 81.377773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42031727-1.42031008) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42031727-1.42031008) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55362325--0.55357532) × cos(1.42031727) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149911792811281 × 6371000     		do = 45.7773693738203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55362325--0.55357532) × cos(1.42031008) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149918901555914 × 6371000     		du = 45.7795401145119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42031727)-sin(1.42031008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149911792811281-0.149918901555914)×R²
    abs(-0.55357532--0.55362325)×7.10874463219491e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.10874463219491e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.10874463219491e-06×40589641000000     		ar = 2096.99610777161m²