Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53986 / 49981
↖ ↑ ↗
← S 68.263284°
E116.553955°		 ← 226.22 m → S 68.263284°
E116.559448°		 →
↑
226.23 m
↓
↑
226.23 m
↓
S 68.265319°
E116.553955°		 ← 226.20 m →
51 177 m²		 S 68.265319°
E116.559448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823768615722656 y=0.762657165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823768615722656 × 216)
    floor (0.823768615722656 × 65536)
    floor (53986.5)     		tx = 53986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762657165527344 × 216)
    floor (0.762657165527344 × 65536)
    floor (49981.5)     		ty = 49981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53986 / 49981 ti = "16/53986/49981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53986/49981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53986 ÷ 216
    53986 ÷ 65536     		x = 0.823760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49981 ÷ 216
    49981 ÷ 65536     		y = 0.762649536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823760986328125 × 2 - 1) × π
    0.64752197265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03425027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762649536132812 × 2 - 1) × π
    -0.525299072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65027570632005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03425027} λ = 2.03425027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65027570632005))-π/2
    2×atan(0.191996966545749)-π/2
    2×0.18968862641598-π/2
    0.379377252831961-1.57079632675     		φ = -1.19141907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03425027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.553955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19141907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.263284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53986 KachelY 49981 2.03425027 -1.19141907 116.553955 -68.263284
    Oben rechts KachelX + 1 53987 KachelY 49981 2.03434615 -1.19141907 116.559448 -68.263284
    Unten links KachelX 53986 KachelY + 1 49982 2.03425027 -1.19145458 116.553955 -68.265319
    Unten rechts KachelX + 1 53987 KachelY + 1 49982 2.03434615 -1.19145458 116.559448 -68.265319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19141907--1.19145458) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dl = 226.234210000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19141907--1.19145458) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dr = 226.234210000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03425027-2.03434615) × cos(-1.19141907) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.370342077935573 × 6371000     		do = 226.224006414119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03425027-2.03434615) × cos(-1.19145458) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.370309092624881 × 6371000     		du = 226.203857288265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19141907)-sin(-1.19145458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370342077935573-0.370309092624881)×R²
    abs(2.03434615-2.03425027)×3.29853106918465e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.29853106918465e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.29853106918465e-05×40589641000000     		ar = 51177.3301687939m²