Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53986 / 15969
↖ ↑ ↗
← N 79.383399°
W 31.723022°		 ← 56.27 m → N 79.383399°
W 31.720276°		 →
↑
56.26 m
↓
↑
56.26 m
↓
N 79.382893°
W 31.723022°		 ← 56.27 m →
3 166 m²		 N 79.382893°
W 31.720276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411884307861328 y=0.121837615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411884307861328 × 217)
    floor (0.411884307861328 × 131072)
    floor (53986.5)     		tx = 53986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121837615966797 × 217)
    floor (0.121837615966797 × 131072)
    floor (15969.5)     		ty = 15969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53986 / 15969 ti = "17/53986/15969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53986/15969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53986 ÷ 217
    53986 ÷ 131072     		x = 0.411880493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15969 ÷ 217
    15969 ÷ 131072     		y = 0.121833801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411880493164062 × 2 - 1) × π
    -0.176239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55367119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121833801269531 × 2 - 1) × π
    0.756332397460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.37608830346732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55367119} λ = -0.55367119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37608830346732))-π/2
    2×atan(10.7627199200882)-π/2
    2×1.4781490040615-π/2
    2.95629800812301-1.57079632675     		φ = 1.38550168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55367119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.723022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38550168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.383399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53986 KachelY 15969 -0.55367119 1.38550168 -31.723022 79.383399
    Oben rechts KachelX + 1 53987 KachelY 15969 -0.55362325 1.38550168 -31.720276 79.383399
    Unten links KachelX 53986 KachelY + 1 15970 -0.55367119 1.38549285 -31.723022 79.382893
    Unten rechts KachelX + 1 53987 KachelY + 1 15970 -0.55362325 1.38549285 -31.720276 79.382893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38550168-1.38549285) × R
    8.82999999984868e-06 × 6371000     		dl = 56.2559299990359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38550168-1.38549285) × R
    8.82999999984868e-06 × 6371000     		dr = 56.2559299990359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55367119--0.55362325) × cos(1.38550168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184236144554868 × 6371000     		do = 56.2704607853806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55367119--0.55362325) × cos(1.38549285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184244823395822 × 6371000     		du = 56.2731115268014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38550168)-sin(1.38549285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184236144554868-0.184244823395822)×R²
    abs(-0.55362325--0.55367119)×8.67884095426263e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.67884095426263e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.67884095426263e-06×40589641000000     		ar = 3165.62166294823m²