Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53985 / 13089
↖ ↑ ↗
← N 80.746051°
W 31.725769°		 ← 49.12 m → N 80.746051°
W 31.723022°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
N 80.745609°
W 31.725769°		 ← 49.12 m →
2 413 m²		 N 80.745609°
W 31.723022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411876678466797 y=0.0998649597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411876678466797 × 217)
    floor (0.411876678466797 × 131072)
    floor (53985.5)     		tx = 53985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0998649597167969 × 217)
    floor (0.0998649597167969 × 131072)
    floor (13089.5)     		ty = 13089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53985 / 13089 ti = "17/53985/13089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53985/13089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53985 ÷ 217
    53985 ÷ 131072     		x = 0.411872863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13089 ÷ 217
    13089 ÷ 131072     		y = 0.0998611450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411872863769531 × 2 - 1) × π
    -0.176254272460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55371913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0998611450195312 × 2 - 1) × π
    0.800277709960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.51414657437308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55371913} λ = -0.55371913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51414657437308))-π/2
    2×atan(12.3560593005001)-π/2
    2×1.49004038436352-π/2
    2.98008076872703-1.57079632675     		φ = 1.40928444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55371913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.725769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40928444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.746051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53985 KachelY 13089 -0.55371913 1.40928444 -31.725769 80.746051
    Oben rechts KachelX + 1 53986 KachelY 13089 -0.55367119 1.40928444 -31.723022 80.746051
    Unten links KachelX 53985 KachelY + 1 13090 -0.55371913 1.40927673 -31.725769 80.745609
    Unten rechts KachelX + 1 53986 KachelY + 1 13090 -0.55367119 1.40927673 -31.723022 80.745609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40928444-1.40927673) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40928444-1.40927673) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55371913--0.55367119) × cos(1.40928444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160810599854044 × 6371000     		do = 49.115696460233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55371913--0.55367119) × cos(1.40927673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160818209505804 × 6371000     		du = 49.1180206437531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40928444)-sin(1.40927673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160810599854044-0.160818209505804)×R²
    abs(-0.55367119--0.55371913)×7.60965176049844e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60965176049844e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60965176049844e-06×40589641000000     		ar = 2412.64022999855m²