Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53984 / 13664
↖ ↑ ↗
← N 80.488600°
W 31.728515°		 ← 50.46 m → N 80.488600°
W 31.725769°		 →
↑
50.52 m
↓
↑
50.52 m
↓
N 80.488146°
W 31.728515°		 ← 50.46 m →
2 549 m²		 N 80.488146°
W 31.725769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411869049072266 y=0.104251861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411869049072266 × 217)
    floor (0.411869049072266 × 131072)
    floor (53984.5)     		tx = 53984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104251861572266 × 217)
    floor (0.104251861572266 × 131072)
    floor (13664.5)     		ty = 13664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53984 / 13664 ti = "17/53984/13664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53984/13664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53984 ÷ 217
    53984 ÷ 131072     		x = 0.411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13664 ÷ 217
    13664 ÷ 131072     		y = 0.104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55376706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104248046875 × 2 - 1) × π
    0.79150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48658285709155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55376706} λ = -0.55376706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48658285709155))-π/2
    2×atan(12.0201313550913)-π/2
    2×1.48779370091364-π/2
    2.97558740182727-1.57079632675     		φ = 1.40479108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55376706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.728515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40479108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.488600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53984 KachelY 13664 -0.55376706 1.40479108 -31.728515 80.488600
    Oben rechts KachelX + 1 53985 KachelY 13664 -0.55371913 1.40479108 -31.725769 80.488600
    Unten links KachelX 53984 KachelY + 1 13665 -0.55376706 1.40478315 -31.728515 80.488146
    Unten rechts KachelX + 1 53985 KachelY + 1 13665 -0.55371913 1.40478315 -31.725769 80.488146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40479108-1.40478315) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dl = 50.5220299999321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40479108-1.40478315) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dr = 50.5220299999321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55376706--0.55371913) × cos(1.40479108) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165243841723398 × 6371000     		do = 50.4591949536864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55376706--0.55371913) × cos(1.40478315) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165251662702453 × 6371000     		du = 50.4615831837272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40479108)-sin(1.40478315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165243841723398-0.165251662702453)×R²
    abs(-0.55371913--0.55376706)×7.82097905502321e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.82097905502321e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.82097905502321e-06×40589641000000     		ar = 2549.36129023321m²