Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53984 / 11609
↖ ↑ ↗
← N 81.377362°
W 31.728515°		 ← 45.78 m → N 81.377362°
W 31.725769°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
N 81.376950°
W 31.728515°		 ← 45.78 m →
2 097 m²		 N 81.376950°
W 31.725769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411869049072266 y=0.0885734558105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411869049072266 × 217)
    floor (0.411869049072266 × 131072)
    floor (53984.5)     		tx = 53984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0885734558105469 × 217)
    floor (0.0885734558105469 × 131072)
    floor (11609.5)     		ty = 11609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53984 / 11609 ti = "17/53984/11609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53984/11609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53984 ÷ 217
    53984 ÷ 131072     		x = 0.411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11609 ÷ 217
    11609 ÷ 131072     		y = 0.0885696411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55376706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0885696411132812 × 2 - 1) × π
    0.822860717773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.58509318581077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55376706} λ = -0.55376706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58509318581077))-π/2
    2×atan(13.2645250979037)-π/2
    2×1.49554961243319-π/2
    2.99109922486638-1.57079632675     		φ = 1.42030290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55376706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.728515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42030290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.377362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53984 KachelY 11609 -0.55376706 1.42030290 -31.728515 81.377362
    Oben rechts KachelX + 1 53985 KachelY 11609 -0.55371913 1.42030290 -31.725769 81.377362
    Unten links KachelX 53984 KachelY + 1 11610 -0.55376706 1.42029571 -31.728515 81.376950
    Unten rechts KachelX + 1 53985 KachelY + 1 11610 -0.55371913 1.42029571 -31.725769 81.376950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42030290-1.42029571) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42030290-1.42029571) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55376706--0.55371913) × cos(1.42030290) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149926000405823 × 6371000     		do = 45.781707833731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55376706--0.55371913) × cos(1.42029571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149933109134965 × 6371000     		du = 45.7838785696926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42030290)-sin(1.42029571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149926000405823-0.149933109134965)×R²
    abs(-0.55371913--0.55376706)×7.10872914216898e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.10872914216898e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.10872914216898e-06×40589641000000     		ar = 2097.19484175965m²