Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53983 / 11610
↖ ↑ ↗
← N 81.376950°
W 31.731262°		 ← 45.79 m → N 81.376950°
W 31.728515°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
N 81.376538°
W 31.731262°		 ← 45.80 m →
2 098 m²		 N 81.376538°
W 31.728515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411861419677734 y=0.0885810852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411861419677734 × 217)
    floor (0.411861419677734 × 131072)
    floor (53983.5)     		tx = 53983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0885810852050781 × 217)
    floor (0.0885810852050781 × 131072)
    floor (11610.5)     		ty = 11610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53983 / 11610 ti = "17/53983/11610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53983/11610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53983 ÷ 217
    53983 ÷ 131072     		x = 0.411857604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11610 ÷ 217
    11610 ÷ 131072     		y = 0.0885772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411857604980469 × 2 - 1) × π
    -0.176284790039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.55381500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0885772705078125 × 2 - 1) × π
    0.822845458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58504524891115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55381500} λ = -0.55381500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58504524891115))-π/2
    2×atan(13.2638892529359)-π/2
    2×1.49554601885417-π/2
    2.99109203770834-1.57079632675     		φ = 1.42029571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55381500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.731262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42029571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.376950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53983 KachelY 11610 -0.55381500 1.42029571 -31.731262 81.376950
    Oben rechts KachelX + 1 53984 KachelY 11610 -0.55376706 1.42029571 -31.728515 81.376950
    Unten links KachelX 53983 KachelY + 1 11611 -0.55381500 1.42028852 -31.731262 81.376538
    Unten rechts KachelX + 1 53984 KachelY + 1 11611 -0.55376706 1.42028852 -31.728515 81.376538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42029571-1.42028852) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42029571-1.42028852) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55381500--0.55376706) × cos(1.42029571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149933109134965 × 6371000     		do = 45.7934308080175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55381500--0.55376706) × cos(1.42028852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149940217856357 × 6371000     		du = 45.7956019945089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42029571)-sin(1.42028852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149933109134965-0.149940217856357)×R²
    abs(-0.55376706--0.55381500)×7.1087213912302e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.1087213912302e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.1087213912302e-06×40589641000000     		ar = 2097.73185219695m²