Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53982 / 11616
↖ ↑ ↗
← N 81.374479°
W 31.734009°		 ← 45.81 m → N 81.374479°
W 31.731262°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
N 81.374067°
W 31.734009°		 ← 45.81 m →
2 098 m²		 N 81.374067°
W 31.731262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411853790283203 y=0.0886268615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411853790283203 × 217)
    floor (0.411853790283203 × 131072)
    floor (53982.5)     		tx = 53982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0886268615722656 × 217)
    floor (0.0886268615722656 × 131072)
    floor (11616.5)     		ty = 11616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53982 / 11616 ti = "17/53982/11616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53982/11616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53982 ÷ 217
    53982 ÷ 131072     		x = 0.411849975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11616 ÷ 217
    11616 ÷ 131072     		y = 0.088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411849975585938 × 2 - 1) × π
    -0.176300048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55386294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088623046875 × 2 - 1) × π
    0.82275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58475762751343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55386294} λ = -0.55386294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58475762751343))-π/2
    2×atan(13.2600748231518)-π/2
    2×1.49552445380302-π/2
    2.99104890760603-1.57079632675     		φ = 1.42025258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55386294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.734009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42025258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.374479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53982 KachelY 11616 -0.55386294 1.42025258 -31.734009 81.374479
    Oben rechts KachelX + 1 53983 KachelY 11616 -0.55381500 1.42025258 -31.731262 81.374479
    Unten links KachelX 53982 KachelY + 1 11617 -0.55386294 1.42024539 -31.734009 81.374067
    Unten rechts KachelX + 1 53983 KachelY + 1 11617 -0.55381500 1.42024539 -31.731262 81.374067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42025258-1.42024539) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42025258-1.42024539) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55386294--0.55381500) × cos(1.42025258) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.149975751460138 × 6371000     		do = 45.8064548718449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55386294--0.55381500) × cos(1.42024539) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.149982860135027 × 6371000     		du = 45.8086260441332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42025258)-sin(1.42024539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149975751460138-0.149982860135027)×R²
    abs(-0.55381500--0.55386294)×7.10867488856737e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.10867488856737e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.10867488856737e-06×40589641000000     		ar = 2098.32845140788m²