Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53981 / 13372
↖ ↑ ↗
← N 80.620215°
W 31.736756°		 ← 49.78 m → N 80.620215°
W 31.734009°		 →
↑
49.76 m
↓
↑
49.76 m
↓
N 80.619767°
W 31.736756°		 ← 49.78 m →
2 477 m²		 N 80.619767°
W 31.734009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411846160888672 y=0.102024078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411846160888672 × 217)
    floor (0.411846160888672 × 131072)
    floor (53981.5)     		tx = 53981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102024078369141 × 217)
    floor (0.102024078369141 × 131072)
    floor (13372.5)     		ty = 13372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53981 / 13372 ti = "17/53981/13372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53981/13372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53981 ÷ 217
    53981 ÷ 131072     		x = 0.411842346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13372 ÷ 217
    13372 ÷ 131072     		y = 0.102020263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411842346191406 × 2 - 1) × π
    -0.176315307617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.55391088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102020263671875 × 2 - 1) × π
    0.79595947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50058043178061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55391088} λ = -0.55391088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50058043178061))-π/2
    2×atan(12.18956711991)-π/2
    2×1.48894226017993-π/2
    2.97788452035986-1.57079632675     		φ = 1.40708819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55391088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.736756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40708819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.620215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53981 KachelY 13372 -0.55391088 1.40708819 -31.736756 80.620215
    Oben rechts KachelX + 1 53982 KachelY 13372 -0.55386294 1.40708819 -31.734009 80.620215
    Unten links KachelX 53981 KachelY + 1 13373 -0.55391088 1.40708038 -31.736756 80.619767
    Unten rechts KachelX + 1 53982 KachelY + 1 13373 -0.55386294 1.40708038 -31.734009 80.619767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40708819-1.40708038) × R
    7.8100000000525e-06 × 6371000     		dl = 49.7575100003345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40708819-1.40708038) × R
    7.8100000000525e-06 × 6371000     		dr = 49.7575100003345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55391088--0.55386294) × cos(1.40708819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16297787670562 × 6371000     		do = 49.77763859641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55391088--0.55386294) × cos(1.40708038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162985582278791 × 6371000     		du = 49.7799920767981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40708819)-sin(1.40708038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16297787670562-0.162985582278791)×R²
    abs(-0.55386294--0.55391088)×7.70557317161802e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.70557317161802e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.70557317161802e-06×40589641000000     		ar = 2476.86990190156m²