Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5398 / 2918
N 81.351380°
W120.695801°
← 183.70 m → N 81.351380°
W120.684814°

183.74 m

183.74 m
N 81.349728°
W120.695801°
← 183.74 m →
33 757 m²
N 81.349728°
W120.684814°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164749145507812 y=0.0890655517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164749145507812 × 215)
    floor (0.164749145507812 × 32768)
    floor (5398.5)
    tx = 5398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890655517578125 × 215)
    floor (0.0890655517578125 × 32768)
    floor (2918.5)
    ty = 2918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5398 / 2918 ti = "15/5398/2918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5398/2918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5398 ÷ 215
    5398 ÷ 32768
    x = 0.16473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2918 ÷ 215
    2918 ÷ 32768
    y = 0.08905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.16473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.6705322265625 × 3.1415926535
    Λ = -2.10653912
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.08905029296875 × 2 - 1) × π
    0.8218994140625 × 3.1415926535
    Φ = 2.5820731611347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10653912} λ = -2.10653912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5820731611347))-π/2
    2×atan(13.2245263338199)-π/2
    2×1.49532288400303-π/2
    2.99064576800606-1.57079632675
    φ = 1.41984944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10653912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.695801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41984944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.351380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5398 KachelY 2918 -2.10653912 1.41984944 -120.695801 81.351380
    Oben rechts KachelX + 1 5399 KachelY 2918 -2.10634737 1.41984944 -120.684814 81.351380
    Unten links KachelX 5398 KachelY + 1 2919 -2.10653912 1.41982060 -120.695801 81.349728
    Unten rechts KachelX + 1 5399 KachelY + 1 2919 -2.10634737 1.41982060 -120.684814 81.349728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.41984944-1.41982060) × R
    2.88399999999189e-05 × 6371000
    dl = 183.739639999484m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.41984944-1.41982060) × R
    2.88399999999189e-05 × 6371000
    dr = 183.739639999484m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10653912--2.10634737) × cos(1.41984944) × R
    0.000191749999999935 × 0.150374319617859 × 6371000
    do = 183.70317103716m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10653912--2.10634737) × cos(1.41982060) × R
    0.000191749999999935 × 0.150402831619535 × 6371000
    du = 183.738002417502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.41984944)-sin(1.41982060))×
    abs(λ12)×abs(0.150374319617859-0.150402831619535)×
    abs(-2.10634737--2.10653912)×2.85120016752516e-05×
    0.000191749999999935×2.85120016752516e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.85120016752516e-05×40589641000000
    ar = 33756.7544674267m²