Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53976 / 12648
↖ ↑ ↗
← N 80.938813°
W 31.750488°		 ← 48.10 m → N 80.938813°
W 31.747742°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
N 80.938380°
W 31.750488°		 ← 48.10 m →
2 314 m²		 N 80.938380°
W 31.747742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411808013916016 y=0.0965003967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411808013916016 × 217)
    floor (0.411808013916016 × 131072)
    floor (53976.5)     		tx = 53976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0965003967285156 × 217)
    floor (0.0965003967285156 × 131072)
    floor (12648.5)     		ty = 12648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53976 / 12648 ti = "17/53976/12648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53976/12648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53976 ÷ 217
    53976 ÷ 131072     		x = 0.41180419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12648 ÷ 217
    12648 ÷ 131072     		y = 0.09649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41180419921875 × 2 - 1) × π
    -0.1763916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55415056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09649658203125 × 2 - 1) × π
    0.8070068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53528674710553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55415056} λ = -0.55415056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53528674710553))-π/2
    2×atan(12.6200490918004)-π/2
    2×1.49172255276688-π/2
    2.98344510553375-1.57079632675     		φ = 1.41264878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55415056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.750488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41264878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.938813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53976 KachelY 12648 -0.55415056 1.41264878 -31.750488 80.938813
    Oben rechts KachelX + 1 53977 KachelY 12648 -0.55410262 1.41264878 -31.747742 80.938813
    Unten links KachelX 53976 KachelY + 1 12649 -0.55415056 1.41264123 -31.750488 80.938380
    Unten rechts KachelX + 1 53977 KachelY + 1 12649 -0.55410262 1.41264123 -31.747742 80.938380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41264878-1.41264123) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41264878-1.41264123) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55415056--0.55410262) × cos(1.41264878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157489141958196 × 6371000     		do = 48.1012377245156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55415056--0.55410262) × cos(1.41264123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157496597735135 × 6371000     		du = 48.1035149107044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41264878)-sin(1.41264123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157489141958196-0.157496597735135)×R²
    abs(-0.55410262--0.55415056)×7.45577693872512e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45577693872512e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45577693872512e-06×40589641000000     		ar = 2313.77480851912m²