Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53975 / 20807
↖ ↑ ↗
← N 54.753161°
E116.493530°		 ← 352.49 m → N 54.753161°
E116.499023°		 →
↑
352.51 m
↓
↑
352.51 m
↓
N 54.749991°
E116.493530°		 ← 352.51 m →
124 259 m²		 N 54.749991°
E116.499023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823600769042969 y=0.317497253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823600769042969 × 216)
    floor (0.823600769042969 × 65536)
    floor (53975.5)     		tx = 53975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317497253417969 × 216)
    floor (0.317497253417969 × 65536)
    floor (20807.5)     		ty = 20807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53975 / 20807 ti = "16/53975/20807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53975/20807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53975 ÷ 216
    53975 ÷ 65536     		x = 0.823593139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20807 ÷ 216
    20807 ÷ 65536     		y = 0.317489624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823593139648438 × 2 - 1) × π
    0.647186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03319566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317489624023438 × 2 - 1) × π
    0.365020751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14674651271098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03319566} λ = 2.03319566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14674651271098))-π/2
    2×atan(3.14793446610868)-π/2
    2×1.26320963279596-π/2
    2.52641926559192-1.57079632675     		φ = 0.95562294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03319566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.493530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95562294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.753161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53975 KachelY 20807 2.03319566 0.95562294 116.493530 54.753161
    Oben rechts KachelX + 1 53976 KachelY 20807 2.03329153 0.95562294 116.499023 54.753161
    Unten links KachelX 53975 KachelY + 1 20808 2.03319566 0.95556761 116.493530 54.749991
    Unten rechts KachelX + 1 53976 KachelY + 1 20808 2.03329153 0.95556761 116.499023 54.749991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95562294-0.95556761) × R
    5.53300000000201e-05 × 6371000     		dl = 352.507430000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95562294-0.95556761) × R
    5.53300000000201e-05 × 6371000     		dr = 352.507430000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03319566-2.03329153) × cos(0.95562294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577100131342256 × 6371000     		do = 352.485702289236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03319566-2.03329153) × cos(0.95556761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577145316997954 × 6371000     		du = 352.513301135116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95562294)-sin(0.95556761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577100131342256-0.577145316997954)×R²
    abs(2.03329153-2.03319566)×4.51856556983321e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51856556983321e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51856556983321e-05×40589641000000     		ar = 124258.693456554m²