Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53975 / 18798
↖ ↑ ↗
← N 77.852256°
W 31.753235°		 ← 64.27 m → N 77.852256°
W 31.750488°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.851677°
W 31.753235°		 ← 64.27 m →
4 132 m²		 N 77.851677°
W 31.750488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411800384521484 y=0.143421173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411800384521484 × 217)
    floor (0.411800384521484 × 131072)
    floor (53975.5)     		tx = 53975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143421173095703 × 217)
    floor (0.143421173095703 × 131072)
    floor (18798.5)     		ty = 18798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53975 / 18798 ti = "17/53975/18798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53975/18798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53975 ÷ 217
    53975 ÷ 131072     		x = 0.411796569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18798 ÷ 217
    18798 ÷ 131072     		y = 0.143417358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411796569824219 × 2 - 1) × π
    -0.176406860351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55419850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143417358398438 × 2 - 1) × π
    0.713165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24047481444218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55419850} λ = -0.55419850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24047481444218))-π/2
    2×atan(9.39779243582331)-π/2
    2×1.46478725890228-π/2
    2.92957451780455-1.57079632675     		φ = 1.35877819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55419850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.753235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35877819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.852256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53975 KachelY 18798 -0.55419850 1.35877819 -31.753235 77.852256
    Oben rechts KachelX + 1 53976 KachelY 18798 -0.55415056 1.35877819 -31.750488 77.852256
    Unten links KachelX 53975 KachelY + 1 18799 -0.55419850 1.35876810 -31.753235 77.851677
    Unten rechts KachelX + 1 53976 KachelY + 1 18799 -0.55415056 1.35876810 -31.750488 77.851677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35877819-1.35876810) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dl = 64.2833899997619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35877819-1.35876810) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dr = 64.2833899997619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55419850--0.55415056) × cos(1.35877819) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.21043327416628 × 6371000     		do = 64.2717384829657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55419850--0.55415056) × cos(1.35876810) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210443138222535 × 6371000     		du = 64.2747512196468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35877819)-sin(1.35876810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21043327416628-0.210443138222535)×R²
    abs(-0.55415056--0.55419850)×9.86405625511e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.86405625511e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.86405625511e-06×40589641000000     		ar = 4131.70206536506m²