Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53974 / 20790
↖ ↑ ↗
← N 54.807017°
E116.488037°		 ← 352.02 m → N 54.807017°
E116.493530°		 →
↑
352.06 m
↓
↑
352.06 m
↓
N 54.803851°
E116.488037°		 ← 352.04 m →
123 936 m²		 N 54.803851°
E116.493530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823585510253906 y=0.317237854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823585510253906 × 216)
    floor (0.823585510253906 × 65536)
    floor (53974.5)     		tx = 53974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317237854003906 × 216)
    floor (0.317237854003906 × 65536)
    floor (20790.5)     		ty = 20790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53974 / 20790 ti = "16/53974/20790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53974/20790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53974 ÷ 216
    53974 ÷ 65536     		x = 0.823577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20790 ÷ 216
    20790 ÷ 65536     		y = 0.317230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823577880859375 × 2 - 1) × π
    0.64715576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03309979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317230224609375 × 2 - 1) × π
    0.36553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14837636729807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03309979} λ = 2.03309979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14837636729807))-π/2
    2×atan(3.15306932493801)-π/2
    2×1.26367961451956-π/2
    2.52735922903911-1.57079632675     		φ = 0.95656290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03309979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.488037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95656290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.807017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53974 KachelY 20790 2.03309979 0.95656290 116.488037 54.807017
    Oben rechts KachelX + 1 53975 KachelY 20790 2.03319566 0.95656290 116.493530 54.807017
    Unten links KachelX 53974 KachelY + 1 20791 2.03309979 0.95650764 116.488037 54.803851
    Unten rechts KachelX + 1 53975 KachelY + 1 20791 2.03319566 0.95650764 116.493530 54.803851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95656290-0.95650764) × R
    5.52600000000014e-05 × 6371000     		dl = 352.061460000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95656290-0.95650764) × R
    5.52600000000014e-05 × 6371000     		dr = 352.061460000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03309979-2.03319566) × cos(0.95656290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576332236187332 × 6371000     		do = 352.016681319966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03309979-2.03319566) × cos(0.95650764) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576377394635202 × 6371000     		du = 352.044263547638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95656290)-sin(0.95650764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576332236187332-0.576377394635202)×R²
    abs(2.03319566-2.03309979)×4.51584478704525e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51584478704525e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51584478704525e-05×40589641000000     		ar = 123936.362120757m²