Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53974 / 18798
↖ ↑ ↗
← N 77.852256°
W 31.755981°		 ← 64.26 m → N 77.852256°
W 31.753235°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.851677°
W 31.755981°		 ← 64.26 m →
4 131 m²		 N 77.851677°
W 31.753235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411792755126953 y=0.143421173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411792755126953 × 217)
    floor (0.411792755126953 × 131072)
    floor (53974.5)     		tx = 53974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143421173095703 × 217)
    floor (0.143421173095703 × 131072)
    floor (18798.5)     		ty = 18798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53974 / 18798 ti = "17/53974/18798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53974/18798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53974 ÷ 217
    53974 ÷ 131072     		x = 0.411788940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18798 ÷ 217
    18798 ÷ 131072     		y = 0.143417358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411788940429688 × 2 - 1) × π
    -0.176422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55424643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143417358398438 × 2 - 1) × π
    0.713165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24047481444218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55424643} λ = -0.55424643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24047481444218))-π/2
    2×atan(9.39779243582331)-π/2
    2×1.46478725890228-π/2
    2.92957451780455-1.57079632675     		φ = 1.35877819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55424643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.755981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35877819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.852256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53974 KachelY 18798 -0.55424643 1.35877819 -31.755981 77.852256
    Oben rechts KachelX + 1 53975 KachelY 18798 -0.55419850 1.35877819 -31.753235 77.852256
    Unten links KachelX 53974 KachelY + 1 18799 -0.55424643 1.35876810 -31.755981 77.851677
    Unten rechts KachelX + 1 53975 KachelY + 1 18799 -0.55419850 1.35876810 -31.753235 77.851677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35877819-1.35876810) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dl = 64.2833899997619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35877819-1.35876810) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dr = 64.2833899997619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55424643--0.55419850) × cos(1.35877819) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.21043327416628 × 6371000     		do = 64.2583317788524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55424643--0.55419850) × cos(1.35876810) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.210443138222535 × 6371000     		du = 64.2613438870945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35877819)-sin(1.35876810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21043327416628-0.210443138222535)×R²
    abs(-0.55419850--0.55424643)×9.86405625511e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.86405625511e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.86405625511e-06×40589641000000     		ar = 4130.84021677683m²