Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53973 / 18807
↖ ↑ ↗
← N 77.847053°
W 31.758728°		 ← 64.30 m → N 77.847053°
W 31.755981°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.846474°
W 31.758728°		 ← 64.30 m →
4 133 m²		 N 77.846474°
W 31.755981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411785125732422 y=0.143489837646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411785125732422 × 217)
    floor (0.411785125732422 × 131072)
    floor (53973.5)     		tx = 53973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143489837646484 × 217)
    floor (0.143489837646484 × 131072)
    floor (18807.5)     		ty = 18807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53973 / 18807 ti = "17/53973/18807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53973/18807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53973 ÷ 217
    53973 ÷ 131072     		x = 0.411781311035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18807 ÷ 217
    18807 ÷ 131072     		y = 0.143486022949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411781311035156 × 2 - 1) × π
    -0.176437377929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.55429437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143486022949219 × 2 - 1) × π
    0.713027954101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.2400433823456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55429437} λ = -0.55429437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2400433823456))-π/2
    2×atan(9.39373880102645)-π/2
    2×1.46474185549396-π/2
    2.92948371098792-1.57079632675     		φ = 1.35868738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55429437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.758728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35868738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.847053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53973 KachelY 18807 -0.55429437 1.35868738 -31.758728 77.847053
    Oben rechts KachelX + 1 53974 KachelY 18807 -0.55424643 1.35868738 -31.755981 77.847053
    Unten links KachelX 53973 KachelY + 1 18808 -0.55429437 1.35867729 -31.758728 77.846474
    Unten rechts KachelX + 1 53974 KachelY + 1 18808 -0.55424643 1.35867729 -31.755981 77.846474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35868738-1.35867729) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dl = 64.2833899997619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35868738-1.35867729) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dr = 64.2833899997619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55429437--0.55424643) × cos(1.35868738) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210522049901199 × 6371000     		do = 64.2988528774973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55429437--0.55424643) × cos(1.35867729) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210531913764594 × 6371000     		du = 64.3018655552742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35868738)-sin(1.35867729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210522049901199-0.210531913764594)×R²
    abs(-0.55424643--0.55429437)×9.86386339560386e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.86386339560386e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.86386339560386e-06×40589641000000     		ar = 4133.44506879187m²