Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53973 / 11779
↖ ↑ ↗
← N 81.307076°
W 31.758728°		 ← 46.16 m → N 81.307076°
W 31.755981°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
N 81.306661°
W 31.758728°		 ← 46.16 m →
2 132 m²		 N 81.306661°
W 31.755981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411785125732422 y=0.0898704528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411785125732422 × 217)
    floor (0.411785125732422 × 131072)
    floor (53973.5)     		tx = 53973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0898704528808594 × 217)
    floor (0.0898704528808594 × 131072)
    floor (11779.5)     		ty = 11779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53973 / 11779 ti = "17/53973/11779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53973/11779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53973 ÷ 217
    53973 ÷ 131072     		x = 0.411781311035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11779 ÷ 217
    11779 ÷ 131072     		y = 0.0898666381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411781311035156 × 2 - 1) × π
    -0.176437377929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.55429437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0898666381835938 × 2 - 1) × π
    0.820266723632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.57694391287536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55429437} λ = -0.55429437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57694391287536))-π/2
    2×atan(13.1568681213617)-π/2
    2×1.494936250971-π/2
    2.989872501942-1.57079632675     		φ = 1.41907618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55429437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.758728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41907618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.307076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53973 KachelY 11779 -0.55429437 1.41907618 -31.758728 81.307076
    Oben rechts KachelX + 1 53974 KachelY 11779 -0.55424643 1.41907618 -31.755981 81.307076
    Unten links KachelX 53973 KachelY + 1 11780 -0.55429437 1.41906893 -31.758728 81.306661
    Unten rechts KachelX + 1 53974 KachelY + 1 11780 -0.55424643 1.41906893 -31.755981 81.306661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41907618-1.41906893) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dl = 46.1897500007977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41907618-1.41906893) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dr = 46.1897500007977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55429437--0.55424643) × cos(1.41907618) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151138741948867 × 6371000     		do = 46.1616621024784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55429437--0.55424643) × cos(1.41906893) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151145908660953 × 6371000     		du = 46.1638510008206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41907618)-sin(1.41906893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151138741948867-0.151145908660953)×R²
    abs(-0.55424643--0.55429437)×7.16671208575437e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.16671208575437e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.16671208575437e-06×40589641000000     		ar = 2132.2461844564m²