Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53970 / 14962
↖ ↑ ↗
← N 79.881055°
W 31.766968°		 ← 53.66 m → N 79.881055°
W 31.764221°		 →
↑
53.64 m
↓
↑
53.64 m
↓
N 79.880573°
W 31.766968°		 ← 53.66 m →
2 879 m²		 N 79.880573°
W 31.764221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411762237548828 y=0.114154815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411762237548828 × 217)
    floor (0.411762237548828 × 131072)
    floor (53970.5)     		tx = 53970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114154815673828 × 217)
    floor (0.114154815673828 × 131072)
    floor (14962.5)     		ty = 14962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53970 / 14962 ti = "17/53970/14962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53970/14962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53970 ÷ 217
    53970 ÷ 131072     		x = 0.411758422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14962 ÷ 217
    14962 ÷ 131072     		y = 0.114151000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411758422851562 × 2 - 1) × π
    -0.176483154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55443818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114151000976562 × 2 - 1) × π
    0.771697998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42436076138472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55443818} λ = -0.55443818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42436076138472))-π/2
    2×atan(11.2950069064965)-π/2
    2×1.48249187240167-π/2
    2.96498374480335-1.57079632675     		φ = 1.39418742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55443818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.766968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39418742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.881055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53970 KachelY 14962 -0.55443818 1.39418742 -31.766968 79.881055
    Oben rechts KachelX + 1 53971 KachelY 14962 -0.55439024 1.39418742 -31.764221 79.881055
    Unten links KachelX 53970 KachelY + 1 14963 -0.55443818 1.39417900 -31.766968 79.880573
    Unten rechts KachelX + 1 53971 KachelY + 1 14963 -0.55439024 1.39417900 -31.764221 79.880573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39418742-1.39417900) × R
    8.41999999989795e-06 × 6371000     		dl = 53.6438199993499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39418742-1.39417900) × R
    8.41999999989795e-06 × 6371000     		dr = 53.6438199993499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55443818--0.55439024) × cos(1.39418742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17569224478316 × 6371000     		do = 53.6609338751225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55443818--0.55439024) × cos(1.39417900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175700533805017 × 6371000     		du = 53.663465555757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39418742)-sin(1.39417900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17569224478316-0.175700533805017)×R²
    abs(-0.55439024--0.55443818)×8.28902185684433e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.28902185684433e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.28902185684433e-06×40589641000000     		ar = 2878.64538231717m²