Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53969 / 50009
↖ ↑ ↗
← S 68.320176°
E116.460571°		 ← 225.64 m → S 68.320176°
E116.466064°		 →
↑
225.60 m
↓
↑
225.60 m
↓
S 68.322204°
E116.460571°		 ← 225.62 m →
50 901 m²		 S 68.322204°
E116.466064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823509216308594 y=0.763084411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823509216308594 × 216)
    floor (0.823509216308594 × 65536)
    floor (53969.5)     		tx = 53969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763084411621094 × 216)
    floor (0.763084411621094 × 65536)
    floor (50009.5)     		ty = 50009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53969 / 50009 ti = "16/53969/50009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53969/50009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53969 ÷ 216
    53969 ÷ 65536     		x = 0.823501586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50009 ÷ 216
    50009 ÷ 65536     		y = 0.763076782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823501586914062 × 2 - 1) × π
    0.647003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03262042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763076782226562 × 2 - 1) × π
    -0.526153564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65296017269878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03262042} λ = 2.03262042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65296017269878))-π/2
    2×atan(0.191482248325223)-π/2
    2×0.189192160322576-π/2
    0.378384320645151-1.57079632675     		φ = -1.19241201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03262042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.460571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19241201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.320176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53969 KachelY 50009 2.03262042 -1.19241201 116.460571 -68.320176
    Oben rechts KachelX + 1 53970 KachelY 50009 2.03271629 -1.19241201 116.466064 -68.320176
    Unten links KachelX 53969 KachelY + 1 50010 2.03262042 -1.19244742 116.460571 -68.322204
    Unten rechts KachelX + 1 53970 KachelY + 1 50010 2.03271629 -1.19244742 116.466064 -68.322204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19241201--1.19244742) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dl = 225.597109999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19241201--1.19244742) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dr = 225.597109999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03262042-2.03271629) × cos(-1.19241201) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369419558079636 × 6371000     		do = 225.636948073841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03262042-2.03271629) × cos(-1.19244742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369386652655367 × 6371000     		du = 225.616849843131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19241201)-sin(-1.19244742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369419558079636-0.369386652655367)×R²
    abs(2.03271629-2.03262042)×3.29054242685367e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29054242685367e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29054242685367e-05×40589641000000     		ar = 50900.7763481868m²