Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53969 / 16049
↖ ↑ ↗
← N 79.342841°
W 31.769714°		 ← 56.48 m → N 79.342841°
W 31.766968°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
N 79.342333°
W 31.769714°		 ← 56.49 m →
3 188 m²		 N 79.342333°
W 31.766968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411754608154297 y=0.122447967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411754608154297 × 217)
    floor (0.411754608154297 × 131072)
    floor (53969.5)     		tx = 53969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122447967529297 × 217)
    floor (0.122447967529297 × 131072)
    floor (16049.5)     		ty = 16049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53969 / 16049 ti = "17/53969/16049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53969/16049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53969 ÷ 217
    53969 ÷ 131072     		x = 0.411750793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16049 ÷ 217
    16049 ÷ 131072     		y = 0.122444152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411750793457031 × 2 - 1) × π
    -0.176498413085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55448612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122444152832031 × 2 - 1) × π
    0.755111694335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.37225335149772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55448612} λ = -0.55448612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37225335149772))-π/2
    2×atan(10.7215244479488)-π/2
    2×1.47779506908532-π/2
    2.95559013817065-1.57079632675     		φ = 1.38479381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55448612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.769714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38479381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.342841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53969 KachelY 16049 -0.55448612 1.38479381 -31.769714 79.342841
    Oben rechts KachelX + 1 53970 KachelY 16049 -0.55443818 1.38479381 -31.766968 79.342841
    Unten links KachelX 53969 KachelY + 1 16050 -0.55448612 1.38478495 -31.769714 79.342333
    Unten rechts KachelX + 1 53970 KachelY + 1 16050 -0.55443818 1.38478495 -31.766968 79.342333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38479381-1.38478495) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dl = 56.447059999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38479381-1.38478495) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dr = 56.447059999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55448612--0.55443818) × cos(1.38479381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184931851025751 × 6371000     		do = 56.4829474490727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55448612--0.55443818) × cos(1.38478495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184940558195428 × 6371000     		du = 56.4856068428148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38479381)-sin(1.38478495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184931851025751-0.184940558195428)×R²
    abs(-0.55443818--0.55448612)×8.70716967768526e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.70716967768526e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.70716967768526e-06×40589641000000     		ar = 3188.37138113961m²