Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53968 / 16047
↖ ↑ ↗
← N 79.343857°
W 31.772461°		 ← 56.47 m → N 79.343857°
W 31.769714°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
N 79.343349°
W 31.772461°		 ← 56.47 m →
3 187 m²		 N 79.343349°
W 31.769714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411746978759766 y=0.122432708740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411746978759766 × 217)
    floor (0.411746978759766 × 131072)
    floor (53968.5)     		tx = 53968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122432708740234 × 217)
    floor (0.122432708740234 × 131072)
    floor (16047.5)     		ty = 16047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53968 / 16047 ti = "17/53968/16047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53968/16047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53968 ÷ 217
    53968 ÷ 131072     		x = 0.4117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16047 ÷ 217
    16047 ÷ 131072     		y = 0.122428894042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55453405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122428894042969 × 2 - 1) × π
    0.755142211914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.37234922529696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55453405} λ = -0.55453405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37234922529696))-π/2
    2×atan(10.7225524105078)-π/2
    2×1.47780393372722-π/2
    2.95560786745444-1.57079632675     		φ = 1.38481154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55453405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.772461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38481154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.343857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53968 KachelY 16047 -0.55453405 1.38481154 -31.772461 79.343857
    Oben rechts KachelX + 1 53969 KachelY 16047 -0.55448612 1.38481154 -31.769714 79.343857
    Unten links KachelX 53968 KachelY + 1 16048 -0.55453405 1.38480268 -31.772461 79.343349
    Unten rechts KachelX + 1 53969 KachelY + 1 16048 -0.55448612 1.38480268 -31.769714 79.343349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38481154-1.38480268) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dl = 56.4470600007037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38481154-1.38480268) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dr = 56.4470600007037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55453405--0.55448612) × cos(1.38481154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184914426815298 × 6371000     		do = 56.4658447486405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55453405--0.55448612) × cos(1.38480268) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184923134014026 × 6371000     		du = 56.4685035965196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38481154)-sin(1.38480268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184914426815298-0.184923134014026)×R²
    abs(-0.55448612--0.55453405)×8.70719872775316e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.70719872775316e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.70719872775316e-06×40589641000000     		ar = 3187.40596853115m²