Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53968 / 15024
↖ ↑ ↗
← N 79.851093°
W 31.772461°		 ← 53.81 m → N 79.851093°
W 31.769714°		 →
↑
53.83 m
↓
↑
53.83 m
↓
N 79.850609°
W 31.772461°		 ← 53.81 m →
2 897 m²		 N 79.850609°
W 31.769714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411746978759766 y=0.114627838134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411746978759766 × 217)
    floor (0.411746978759766 × 131072)
    floor (53968.5)     		tx = 53968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114627838134766 × 217)
    floor (0.114627838134766 × 131072)
    floor (15024.5)     		ty = 15024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53968 / 15024 ti = "17/53968/15024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53968/15024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53968 ÷ 217
    53968 ÷ 131072     		x = 0.4117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15024 ÷ 217
    15024 ÷ 131072     		y = 0.1146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55453405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1146240234375 × 2 - 1) × π
    0.770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42138867360828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55453405} λ = -0.55453405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42138867360828))-π/2
    2×atan(11.2614869912743)-π/2
    2×1.48223040370055-π/2
    2.9644608074011-1.57079632675     		φ = 1.39366448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55453405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.772461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39366448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.851093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53968 KachelY 15024 -0.55453405 1.39366448 -31.772461 79.851093
    Oben rechts KachelX + 1 53969 KachelY 15024 -0.55448612 1.39366448 -31.769714 79.851093
    Unten links KachelX 53968 KachelY + 1 15025 -0.55453405 1.39365603 -31.772461 79.850609
    Unten rechts KachelX + 1 53969 KachelY + 1 15025 -0.55448612 1.39365603 -31.769714 79.850609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39366448-1.39365603) × R
    8.44999999993767e-06 × 6371000     		dl = 53.8349499996029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39366448-1.39365603) × R
    8.44999999993767e-06 × 6371000     		dr = 53.8349499996029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55453405--0.55448612) × cos(1.39366448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176207026478645 × 6371000     		do = 53.8069353058158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55453405--0.55448612) × cos(1.39365603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1762153442563 × 6371000     		du = 53.8094752392854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39366448)-sin(1.39365603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176207026478645-0.1762153442563)×R²
    abs(-0.55448612--0.55453405)×8.31777765442077e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.31777765442077e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.31777765442077e-06×40589641000000     		ar = 2896.76204042996m²