Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53964 / 21094
↖ ↑ ↗
← N 53.833080°
E116.433106°		 ← 360.45 m → N 53.833080°
E116.438598°		 →
↑
360.47 m
↓
↑
360.47 m
↓
N 53.829839°
E116.433106°		 ← 360.48 m →
129 937 m²		 N 53.829839°
E116.438598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823432922363281 y=0.321876525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823432922363281 × 216)
    floor (0.823432922363281 × 65536)
    floor (53964.5)     		tx = 53964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321876525878906 × 216)
    floor (0.321876525878906 × 65536)
    floor (21094.5)     		ty = 21094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53964 / 21094 ti = "16/53964/21094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53964/21094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53964 ÷ 216
    53964 ÷ 65536     		x = 0.82342529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21094 ÷ 216
    21094 ÷ 65536     		y = 0.321868896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82342529296875 × 2 - 1) × π
    0.6468505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03214105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321868896484375 × 2 - 1) × π
    0.35626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11923073232907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03214105} λ = 2.03214105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11923073232907))-π/2
    2×atan(3.06249741665441)-π/2
    2×1.25518041585249-π/2
    2.51036083170498-1.57079632675     		φ = 0.93956450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03214105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.433106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93956450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.833080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53964 KachelY 21094 2.03214105 0.93956450 116.433106 53.833080
    Oben rechts KachelX + 1 53965 KachelY 21094 2.03223692 0.93956450 116.438598 53.833080
    Unten links KachelX 53964 KachelY + 1 21095 2.03214105 0.93950792 116.433106 53.829839
    Unten rechts KachelX + 1 53965 KachelY + 1 21095 2.03223692 0.93950792 116.438598 53.829839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93956450-0.93950792) × R
    5.65799999999728e-05 × 6371000     		dl = 360.471179999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93956450-0.93950792) × R
    5.65799999999728e-05 × 6371000     		dr = 360.471179999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03214105-2.03223692) × cos(0.93956450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.590139660643036 × 6371000     		do = 360.450087312709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03214105-2.03223692) × cos(0.93950792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59018533679867 × 6371000     		du = 360.47798574995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93956450)-sin(0.93950792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590139660643036-0.59018533679867)×R²
    abs(2.03223692-2.03214105)×4.5676155633223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5676155633223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5676155633223e-05×40589641000000     		ar = 129936.896630801m²