Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53962 / 21081
↖ ↑ ↗
← N 53.875202°
E116.422119°		 ← 360.09 m → N 53.875202°
E116.427612°		 →
↑
360.09 m
↓
↑
360.09 m
↓
N 53.871964°
E116.422119°		 ← 360.12 m →
129 669 m²		 N 53.871964°
E116.427612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823402404785156 y=0.321678161621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823402404785156 × 216)
    floor (0.823402404785156 × 65536)
    floor (53962.5)     		tx = 53962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321678161621094 × 216)
    floor (0.321678161621094 × 65536)
    floor (21081.5)     		ty = 21081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53962 / 21081 ti = "16/53962/21081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53962/21081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53962 ÷ 216
    53962 ÷ 65536     		x = 0.823394775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21081 ÷ 216
    21081 ÷ 65536     		y = 0.321670532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823394775390625 × 2 - 1) × π
    0.64678955078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03194930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321670532226562 × 2 - 1) × π
    0.356658935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12047709171919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03194930} λ = 2.03194930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12047709171919))-π/2
    2×atan(3.06631676871511)-π/2
    2×1.25554799391343-π/2
    2.51109598782686-1.57079632675     		φ = 0.94029966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03194930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.422119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94029966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.875202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53962 KachelY 21081 2.03194930 0.94029966 116.422119 53.875202
    Oben rechts KachelX + 1 53963 KachelY 21081 2.03204517 0.94029966 116.427612 53.875202
    Unten links KachelX 53962 KachelY + 1 21082 2.03194930 0.94024314 116.422119 53.871964
    Unten rechts KachelX + 1 53963 KachelY + 1 21082 2.03204517 0.94024314 116.427612 53.871964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94029966-0.94024314) × R
    5.65200000000043e-05 × 6371000     		dl = 360.088920000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94029966-0.94024314) × R
    5.65200000000043e-05 × 6371000     		dr = 360.088920000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03194930-2.03204517) × cos(0.94029966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.589546005694016 × 6371000     		do = 360.087490130247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03194930-2.03204517) × cos(0.94024314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.589591657923234 × 6371000     		du = 360.115373953527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94029966)-sin(0.94024314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589546005694016-0.589591657923234)×R²
    abs(2.03204517-2.03194930)×4.56522292177075e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56522292177075e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56522292177075e-05×40589641000000     		ar = 129668.535788866m²